半径为R的半圆环均匀带正电,电荷线密度为λ。试求圆心O处的场强。

步骤 1：建立坐标系
以圆心O为坐标原点，通过半圆环两端点的直径为x轴，过圆环中点的直径为y轴，建立直角坐标系。

步骤 2：取微元并计算微元电荷量
在角坐标θ处，取长度为 $dl=Rd\theta $ 的带电微元，则其带电量为 $dq=\lambda dl=\lambda Rd\theta $ 。

步骤 3：计算微元电荷在圆心处产生的电场强度
微元电荷在圆心处产生的电场强度大小为 $dE=\dfrac {dq}{4\pi {\varepsilon }_{0}{R}^{2}}=\dfrac {\lambda Rd\theta }{4\pi {\varepsilon }_{0}{R}^{2}}=\dfrac {\lambda d\theta }{4\pi {\varepsilon }_{0}R}$ 。

步骤 4：分解电场强度并积分
微元电荷在圆心处产生的电场强度沿x轴和y轴的分量分别为 $d{E}_{x}=-dE\cos \theta =-\dfrac {\lambda d\theta }{4\pi {\varepsilon }_{0}R}\cos \theta $ 和 $d{E}_{y}=-dE\sin \theta =-\dfrac {\lambda d\theta }{4\pi {\varepsilon }_{0}R}\sin \theta $ 。由于半圆环均匀带电，圆环上全部微元电荷的dEx分量均抵消，直接可知 ${E}_{x}=0$ 。${E}_{y}=-\dfrac {\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}R}{\int }_{0}^{\pi }\sin \theta d\theta =-\dfrac {\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}R}[-\cos \theta ]_{0}^{\pi }=-\dfrac {\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}R}[-(-1)-(-1)]=-\dfrac {\lambda }{2\pi {\varepsilon }_{0}R}$ 。

步骤 5：合成电场强度
圆心O处的电场强度为 ${E}_{y}=-\dfrac {\lambda }{2\pi {\varepsilon }_{0}R}j$ 。