题目
4. 用 波 长 为 λ=589.3nm 的 光 照 射 一 个 500 条 /mm 的 光 栅 ， 光 栅 的 透 光 缝 宽a=1.0×10−3mm 。试计算：（1）平行光垂直入射光栅，最多能观察到第几级条纹？实际观察到的明条纹总数是多少？（2）若平行光以与光栅法线方向成夹角= 30o入射，衍射条纹中两侧的最高级次各属哪一级？a+b= 1500 mm=2×10-6m
4. 用 波 长 为 λ=589.3nm 的 光 照 射 一 个 500 条 /mm 的 光 栅 ， 光 栅 的 透 光 缝 宽a=1.0×10−3mm 。试计算：（1）平行光垂直入射光栅，最多能观察到第几级条纹？实际观察到的明条纹总数是多少？（2）若平行光以与光栅法线方向成夹角= 30o入射，衍射条纹中两侧的最高级次各属哪一级？a+b= 1500 mm=2×10-6m
题目解答
答案
[分析与解答] 根据题意，光栅常数(a+b)sinϕ=2k λ（1）由光栅方程2k=(a+b)sinϕ有λ0当衍射角 ϕ=90时，可观察到的条纹级次 k 最高，则所以，最多可观察到两侧各 3 级条纹。(a+b)= k由于ak'=2因而，衍射条纹中第 2，4，…等级次缺级，实际最多可观察到 k=0,±1,±3 共 5 条明纹。（2）由斜入射光栅方程ϕ=π当衍射角2 时， sinϕ=1 时为衍射最高级次，此时= 30o。k=(a+b)(sinθ+sinϕ)=2.0×10−6×(0.5+1)一侧：λ589.3×10−9=5.1所以，这一侧最多可观察到 5 级。'=(a+b)(sinθ−sinϕ)=2.0×10−6×(0.5−1)另一侧：kλ589.3×10−9=−1.7所以，这一侧最多可观察到 1 级。
解析
步骤 1：计算光栅常数
光栅常数 \(a+b\) 为光栅中透光缝宽 \(a\) 与不透光部分宽度 \(b\) 之和。题目中给出光栅的透光缝宽 \(a=1.0 \times 10^{-3} \text{mm}\)，光栅的线密度为 500 条/mm，因此光栅常数 \(a+b\) 为：
\[ a+b = \frac{1}{500} \text{mm} = 2 \times 10^{-6} \text{m} \]
步骤 2：计算最多能观察到的条纹级次
当光垂直入射时，光栅方程为：
\[ (a+b) \sin \phi = k \lambda \]
其中，\(k\) 为条纹级次，\(\lambda\) 为光的波长，\(\phi\) 为衍射角。当 \(\phi = 90^\circ\) 时，\(\sin \phi = 1\)，此时 \(k\) 最大。因此，最多能观察到的条纹级次 \(k\) 为：
\[ k = \frac{(a+b)}{\lambda} = \frac{2 \times 10^{-6} \text{m}}{589.3 \times 10^{-9} \text{m}} \approx 3.4 \]
由于 \(k\) 必须为整数，所以最多能观察到的条纹级次为 \(k = 3\)。因此，最多能观察到两侧各 3 级条纹，即 \(k = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\)。
步骤 3：计算实际观察到的明条纹总数
由于光栅的透光缝宽 \(a\) 为 \(1.0 \times 10^{-3} \text{mm}\)，光栅常数 \(a+b\) 为 \(2 \times 10^{-6} \text{m}\)，因此 \(a/(a+b) = 0.5\)。根据光栅衍射的缺级条件，当 \(k\) 为偶数时，衍射条纹缺级。因此，实际观察到的明条纹总数为 \(k = 0, \pm 1, \pm 3\)，共 5 条明纹。
步骤 4：计算斜入射时的最高级次
当光以与光栅法线方向成夹角 \(\theta = 30^\circ\) 入射时，光栅方程为：
\[ (a+b) (\sin \theta + \sin \phi) = k \lambda \]
当 \(\phi = 90^\circ\) 时，\(\sin \phi = 1\)，此时 \(k\) 最大。因此，一侧的最高级次 \(k'\) 为：
\[ k' = \frac{(a+b) (\sin \theta + \sin \phi)}{\lambda} = \frac{2 \times 10^{-6} \text{m} \times (0.5 + 1)}{589.3 \times 10^{-9} \text{m}} \approx 5.1 \]
由于 \(k'\) 必须为整数，所以一侧最多能观察到 5 级条纹。另一侧的最高级次 \(k''\) 为：
\[ k'' = \frac{(a+b) (\sin \theta - \sin \phi)}{\lambda} = \frac{2 \times 10^{-6} \text{m} \times (0.5 - 1)}{589.3 \times 10^{-9} \text{m}} \approx -1.7 \]
由于 \(k''\) 必须为整数，所以另一侧最多能观察到 1 级条纹。
光栅常数 \(a+b\) 为光栅中透光缝宽 \(a\) 与不透光部分宽度 \(b\) 之和。题目中给出光栅的透光缝宽 \(a=1.0 \times 10^{-3} \text{mm}\)，光栅的线密度为 500 条/mm，因此光栅常数 \(a+b\) 为：
\[ a+b = \frac{1}{500} \text{mm} = 2 \times 10^{-6} \text{m} \]
步骤 2：计算最多能观察到的条纹级次
当光垂直入射时，光栅方程为：
\[ (a+b) \sin \phi = k \lambda \]
其中，\(k\) 为条纹级次，\(\lambda\) 为光的波长，\(\phi\) 为衍射角。当 \(\phi = 90^\circ\) 时，\(\sin \phi = 1\)，此时 \(k\) 最大。因此，最多能观察到的条纹级次 \(k\) 为：
\[ k = \frac{(a+b)}{\lambda} = \frac{2 \times 10^{-6} \text{m}}{589.3 \times 10^{-9} \text{m}} \approx 3.4 \]
由于 \(k\) 必须为整数，所以最多能观察到的条纹级次为 \(k = 3\)。因此，最多能观察到两侧各 3 级条纹，即 \(k = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\)。
步骤 3：计算实际观察到的明条纹总数
由于光栅的透光缝宽 \(a\) 为 \(1.0 \times 10^{-3} \text{mm}\)，光栅常数 \(a+b\) 为 \(2 \times 10^{-6} \text{m}\)，因此 \(a/(a+b) = 0.5\)。根据光栅衍射的缺级条件，当 \(k\) 为偶数时，衍射条纹缺级。因此，实际观察到的明条纹总数为 \(k = 0, \pm 1, \pm 3\)，共 5 条明纹。
步骤 4：计算斜入射时的最高级次
当光以与光栅法线方向成夹角 \(\theta = 30^\circ\) 入射时，光栅方程为：
\[ (a+b) (\sin \theta + \sin \phi) = k \lambda \]
当 \(\phi = 90^\circ\) 时，\(\sin \phi = 1\)，此时 \(k\) 最大。因此，一侧的最高级次 \(k'\) 为：
\[ k' = \frac{(a+b) (\sin \theta + \sin \phi)}{\lambda} = \frac{2 \times 10^{-6} \text{m} \times (0.5 + 1)}{589.3 \times 10^{-9} \text{m}} \approx 5.1 \]
由于 \(k'\) 必须为整数，所以一侧最多能观察到 5 级条纹。另一侧的最高级次 \(k''\) 为：
\[ k'' = \frac{(a+b) (\sin \theta - \sin \phi)}{\lambda} = \frac{2 \times 10^{-6} \text{m} \times (0.5 - 1)}{589.3 \times 10^{-9} \text{m}} \approx -1.7 \]
由于 \(k''\) 必须为整数，所以另一侧最多能观察到 1 级条纹。