题目
质点在力 boldsymbol(F)=4yboldsymbol(i)+xyboldsymbol(j)+zy^2boldsymbol(k) 的作用下沿着曲线 [ L: x^2 + y^2 = 1, x = z, ] 从点 A(1, 0, 1) 移动到点 B(0, 1, 0) 时所作的功 W= () A. (1)/(4)-piB. (1)/(8)-piC. (1)/(12)-piD. (1)/(16)-pi
质点在力 $\boldsymbol{F}=4y\boldsymbol{i}+xy\boldsymbol{j}+zy^2\boldsymbol{k}$ 的作用下沿着曲线
$L: x^2 + y^2 = 1, \quad x = z,$
从点 $A(1, 0, 1)$ 移动到点 $B(0, 1, 0)$ 时所作的功 $W=$ ()
- A. $\frac{1}{4}-\pi$
- B. $\frac{1}{8}-\pi$
- C. $\frac{1}{12}-\pi$
- D. $\frac{1}{16}-\pi$
题目解答
答案
将曲线 $L$ 参数化为 $x = \cos t$，$y = \sin t$，$z = \cos t$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。代入力向量 $\overrightarrow{F} = 4y \mathbf{i} + xy \mathbf{j} + zy^2 \mathbf{k}$，得：
\[
\begin{aligned}
W &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ 4\sin t(-\sin t) + \cos t\sin t\cos t + \cos t\sin^2 t(-\sin t) \right] dt \\
&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ -4\sin^2 t + \cos^2 t\sin t - \cos t\sin^3 t \right] dt \\
&= -4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \, dt + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t\sin t \, dt - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t\sin^3 t \, dt \\
&= -4 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \\
&= -\pi + \frac{1}{12}.
\end{aligned}
\]
因此，正确答案为 $\boxed{C}$。
解析
步骤 1：参数化曲线
曲线 $L$ 可以参数化为 $x = \cos t$，$y = \sin t$，$z = \cos t$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。这是因为曲线 $L$ 是一个圆柱面 $x^2 + y^2 = 1$ 和平面 $x = z$ 的交线，且点 $A(1, 0, 1)$ 和 $B(0, 1, 0)$ 分别对应 $t = 0$ 和 $t = \frac{\pi}{2}$。
步骤 2：代入力向量
将参数化后的坐标代入力向量 $\overrightarrow{F} = 4y \mathbf{i} + xy \mathbf{j} + zy^2 \mathbf{k}$，得到：
\[ \overrightarrow{F} = 4\sin t \mathbf{i} + \cos t \sin t \mathbf{j} + \cos t \sin^2 t \mathbf{k} \]
步骤 3：计算功
功 $W$ 可以通过计算力向量沿曲线 $L$ 的线积分得到：
\[ W = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ 4\sin t(-\sin t) + \cos t\sin t\cos t + \cos t\sin^2 t(-\sin t) \right] dt \]
\[ = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ -4\sin^2 t + \cos^2 t\sin t - \cos t\sin^3 t \right] dt \]
\[ = -4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \, dt + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t\sin t \, dt - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t\sin^3 t \, dt \]
\[ = -4 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \]
\[ = -\pi + \frac{1}{12} \]
曲线 $L$ 可以参数化为 $x = \cos t$，$y = \sin t$，$z = \cos t$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。这是因为曲线 $L$ 是一个圆柱面 $x^2 + y^2 = 1$ 和平面 $x = z$ 的交线，且点 $A(1, 0, 1)$ 和 $B(0, 1, 0)$ 分别对应 $t = 0$ 和 $t = \frac{\pi}{2}$。
步骤 2：代入力向量
将参数化后的坐标代入力向量 $\overrightarrow{F} = 4y \mathbf{i} + xy \mathbf{j} + zy^2 \mathbf{k}$，得到：
\[ \overrightarrow{F} = 4\sin t \mathbf{i} + \cos t \sin t \mathbf{j} + \cos t \sin^2 t \mathbf{k} \]
步骤 3：计算功
功 $W$ 可以通过计算力向量沿曲线 $L$ 的线积分得到：
\[ W = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ 4\sin t(-\sin t) + \cos t\sin t\cos t + \cos t\sin^2 t(-\sin t) \right] dt \]
\[ = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ -4\sin^2 t + \cos^2 t\sin t - \cos t\sin^3 t \right] dt \]
\[ = -4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \, dt + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t\sin t \, dt - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t\sin^3 t \, dt \]
\[ = -4 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \]
\[ = -\pi + \frac{1}{12} \]