车以速度v在地面上匀速形式,其轮胎与地面间的摩擦系数为μ,为保证车无滑动行驶,求(1)车转弯时轨道的最小曲率半径2)车与铅垂线之间的最大倾角.[吉林大学2009研]

考查要点：本题主要考查圆周运动中的向心力来源及受力平衡条件，涉及摩擦力在转弯问题中的作用，以及倾斜角度与摩擦力的关系。

解题核心思路：

1. 第一问：转弯时需要向心力，由摩擦力提供。当摩擦力达到最大静摩擦力时，对应最小曲率半径。
2. 第二问：倾斜角度由摩擦力与重力的比值决定，通过力矩平衡或受力分析推导角度与摩擦系数的关系。

破题关键点：

• 第一问：明确最大静摩擦力公式 $f_{\text{max}} = \mu mg$，并将其代入向心力公式。
• 第二问：通过受力分析建立力矩平衡方程，或利用三角函数关系直接关联摩擦力与重力。

第（1）题

确定向心力来源

转弯时，摩擦力提供向心力，即：
$f = \frac{m v^2}{r}$

取最大静摩擦力

当摩擦力达到最大值时，对应最小曲率半径：
$f_{\text{max}} = \mu mg$

联立求解

将 $f_{\text{max}}$ 代入向心力公式：
$\mu mg = \frac{m v^2}{r_{\text{min}}}$
解得：
$r_{\text{min}} = \frac{v^2}{\mu g}$

第（2）题

受力分析

汽车倾斜时，摩擦力 $f$ 和重力 $G$ 的力矩平衡：
$f \cdot h \cos\theta = G \cdot h \sin\theta$

简化方程

消去公共因子 $h$，得：
$\tan\theta = \frac{f}{G}$

代入最大摩擦力

当摩擦力取最大值时：
$\tan\theta_{\text{max}} = \frac{\mu mg}{mg} = \mu$

求最大倾角

最终得：
$\theta_{\text{max}} = \arctan\mu$