(2010年)已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加,宽ω以3cm/s的速率增加,则当l=12cm,ω=5cm时,它的对角线增加的速率为_______.

考查要点：本题属于相关变化率问题，主要考查利用导数解决几何量随时间变化的速率问题。需要掌握链式法则的应用，以及如何通过已知变量的导数求解未知变量的导数。

解题核心思路：

1. 建立几何关系：利用勾股定理，将对角线长度表示为长和宽的函数。
2. 对时间求导：对等式两边同时关于时间求导，得到对角线变化率与长、宽变化率的关系式。
3. 代入已知条件：将题目中给定的长、宽及其变化率代入方程，解出对角线的变化率。

破题关键点：

• 正确应用链式法则，处理复合函数的导数。
• 注意单位一致性，所有量均需保持时间单位为秒。

设长方形的长为 $l(t)$，宽为 $\omega(t)$，对角线长度为 $z(t)$。根据勾股定理，有：
$z(t)^2 = l(t)^2 + \omega(t)^2$

对时间 $t$ 求导：
$2z \frac{dz}{dt} = 2l \frac{dl}{dt} + 2\omega \frac{d\omega}{dt}$

化简方程：
$\frac{dz}{dt} = \frac{l \frac{dl}{dt} + \omega \frac{d\omega}{dt}}{z}$

代入已知条件：

• 当 $l = 12$ cm，$\omega = 5$ cm 时，对角线 $z = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$ cm
• $\frac{dl}{dt} = 2$ cm/s，$\frac{d\omega}{dt} = 3$ cm/s

代入公式：
$\frac{dz}{dt} = \frac{12 \times 2 + 5 \times 3}{13} = \frac{24 + 15}{13} = \frac{39}{13} = 3 \, \text{cm/s}$