题目
一、一质点作半径R的变速圆周运动，任意时刻质点的速率为，则：（1） 任意时刻质点的切向加速度和法向加速度大小分别为多少 ; （2） 任意时刻质点的总加速度大小为多少 二、质量的物体，在坐标原点处从静止出发沿x轴做一维运动，其所受合力方向与运动方向相同，合外力大小为，则：（1）物体在开始运动的2m内合外力对物体所做的功；（2） 当物体运动到时合外力对物体的冲量大小为多少；
一、一质点作半径R的变速圆周运动，任意时刻质点的速率为
，则：
（1） 任意时刻质点的切向加速度和法向加速度大小分别为多少 ;
（2） 任意时刻质点的总加速度大小为多少
二、质量
的物体，在坐标原点处从静止出发沿x轴做一维运动，其所受合力方向与运动方向相同，合外力大小为
，则：
（1）物体在开始运动的2m内合外力对物体所做的功；
（2） 当物体运动到
时合外力对物体的冲量大小为多少；
题目解答
答案
对于第一题：
质点的速率为：
切线加速度
法向加速度
总加速度
对于第二题：
合外力对物体所做的功为：
将合外力的表达式代入，利用积分，即可求得物体在开始运动的2 m内合外力对物体所做的功为：
设物体运动到时，速度为
，由合外力所做的功为物体动能的改变量可知：
再由合外力的冲量等于物体动量的改变量可知，当物体运动到时合外力对物体的冲量为：
即物体在开始运动的2m内合外力对物体所做的功为
，运动到时合外力对物体的冲量大小为
；
综上所述，解答完成。
解析
步骤 1：计算切向加速度
切向加速度${a}_{T}$是速度随时间的变化率，即${a}_{T}=\dfrac {dv}{dt}$。已知$v=3{t}^{2}$，因此${a}_{T}=\dfrac {d(3{t}^{2})}{dt}=6t$。
步骤 2：计算法向加速度
法向加速度${a}_{n}$是由于速度方向改变而产生的加速度，其大小为${a}_{n}=\dfrac {{v}^{2}}{R}$。已知$v=3{t}^{2}$，因此${a}_{n}=\dfrac {(3{t}^{2})^{2}}{R}=\dfrac {9{t}^{4}}{R}$。
步骤 3：计算总加速度
总加速度$a$是切向加速度和法向加速度的矢量和，其大小为$a=\sqrt {{{a}_{T}}^{2}+{{a}_{n}}^{2}}$。将${a}_{T}$和${a}_{n}$的表达式代入，得到$a=\sqrt {(6t)^{2}+(\dfrac {9{t}^{4}}{R})^{2}}=\sqrt {36{t}^{2}+\dfrac {81{t}^{8}}{{R}^{2}}}$。
【答案】
（1）切向加速度${a}_{T}=6t$，法向加速度${a}_{n}=\dfrac {9{t}^{4}}{R}$。
（2）总加速度$a=\sqrt {36{t}^{2}+\dfrac {81{t}^{8}}{{R}^{2}}}$。
二、质量m=2kg的物体，在坐标原点处从静止出发沿x轴做一维运动，其所受合力方向与运动方向相同，合外力大小为F=3+2x(N)，则：
（1）物体在开始运动的2m内合外力对物体所做的功；
（2） 当物体运动到x=2m时合外力对物体的冲量大小为多少；
【解析】
步骤 1：计算合外力对物体所做的功
合外力对物体所做的功$W$等于合外力$F$与位移$x$的乘积的积分，即$W=\int_{0}^{2}Fdx=\int_{0}^{2}(3+2x)dx$。计算积分得到$W=[3x+x^{2}]_{0}^{2}=3*2+2^{2}=10J$。
步骤 2：计算合外力对物体的冲量
合外力对物体的冲量$T$等于合外力$F$与时间$t$的乘积的积分，即$T=\int_{0}^{t}Fdt$。由于合外力$F$与位移$x$有关，而位移$x$与时间$t$的关系未知，因此需要先求出物体运动到x=2m时的速度$v$。由动能定理可知，合外力所做的功等于物体动能的改变量，即$\dfrac {1}{2}m{v}^{2}=W=10J$。解得$v=\sqrt {10}m/s$。再由动量定理可知，合外力的冲量等于物体动量的改变量，即$T=mv-0=2\sqrt {10}kg\cdot m/s$。
切向加速度${a}_{T}$是速度随时间的变化率，即${a}_{T}=\dfrac {dv}{dt}$。已知$v=3{t}^{2}$，因此${a}_{T}=\dfrac {d(3{t}^{2})}{dt}=6t$。
步骤 2：计算法向加速度
法向加速度${a}_{n}$是由于速度方向改变而产生的加速度，其大小为${a}_{n}=\dfrac {{v}^{2}}{R}$。已知$v=3{t}^{2}$，因此${a}_{n}=\dfrac {(3{t}^{2})^{2}}{R}=\dfrac {9{t}^{4}}{R}$。
步骤 3：计算总加速度
总加速度$a$是切向加速度和法向加速度的矢量和，其大小为$a=\sqrt {{{a}_{T}}^{2}+{{a}_{n}}^{2}}$。将${a}_{T}$和${a}_{n}$的表达式代入，得到$a=\sqrt {(6t)^{2}+(\dfrac {9{t}^{4}}{R})^{2}}=\sqrt {36{t}^{2}+\dfrac {81{t}^{8}}{{R}^{2}}}$。
【答案】
（1）切向加速度${a}_{T}=6t$，法向加速度${a}_{n}=\dfrac {9{t}^{4}}{R}$。
（2）总加速度$a=\sqrt {36{t}^{2}+\dfrac {81{t}^{8}}{{R}^{2}}}$。
二、质量m=2kg的物体，在坐标原点处从静止出发沿x轴做一维运动，其所受合力方向与运动方向相同，合外力大小为F=3+2x(N)，则：
（1）物体在开始运动的2m内合外力对物体所做的功；
（2） 当物体运动到x=2m时合外力对物体的冲量大小为多少；
【解析】
步骤 1：计算合外力对物体所做的功
合外力对物体所做的功$W$等于合外力$F$与位移$x$的乘积的积分，即$W=\int_{0}^{2}Fdx=\int_{0}^{2}(3+2x)dx$。计算积分得到$W=[3x+x^{2}]_{0}^{2}=3*2+2^{2}=10J$。
步骤 2：计算合外力对物体的冲量
合外力对物体的冲量$T$等于合外力$F$与时间$t$的乘积的积分，即$T=\int_{0}^{t}Fdt$。由于合外力$F$与位移$x$有关，而位移$x$与时间$t$的关系未知，因此需要先求出物体运动到x=2m时的速度$v$。由动能定理可知，合外力所做的功等于物体动能的改变量，即$\dfrac {1}{2}m{v}^{2}=W=10J$。解得$v=\sqrt {10}m/s$。再由动量定理可知，合外力的冲量等于物体动量的改变量，即$T=mv-0=2\sqrt {10}kg\cdot m/s$。