用一精馏塔分离二元液体混合物,进料量100kmol/h,易挥发组分xF=0.5,泡点进料,得塔顶产品xD=0.9,塔底釜液xW=0.05(皆摩尔分率),操作回流比R=1.61,该物系平均相对挥发度α=2.25,塔顶为全凝器,求:(1)塔顶和塔底的产品量(kmol/h);(2)第一块塔板下降的液体组成x1为多少;(3)写出提馏段操作线数值方程;

本题主要考察精馏塔的物料衡算、相平衡关系以及操作线方程的相关知识。解题思路如下：

（1）求塔顶和塔底的产品量

根据精馏塔的总物料衡算和易挥发组分的物料衡算列出方程组，然后联立求解得到塔顶产品量 $D$ 和塔底产品量 $W$。

• 总物料衡算：进料量等于塔顶产品量与塔底产品量之和，即 $F = D + W$。已知进料量 $F = 100\space kmol/h$，所以可得方程 $100 = D + W$。
• 易挥发组分物料衡算：进料中易挥发组分的量等于塔顶产品中易挥发组分的量与塔底产品中易挥发组分的量之和，即 $F x_F = D x_D + W x_W$。已知 $F = 100\space kmol/h$，$x_F = 0.5$，$x_D = 0.9$，$x_W = 0.05$，代入可得 $100\times0.5 = D\times0.9 + W\times0.05$，即 $50 = 0.9D + 0.05W$。
  联立上述两个方程：
  $\begin{cases}D + W = 100\\0.9D + 0.05W = 50\end{cases}$
  由第一个方程可得 $W = 100 - D$，将其代入第二个方程：
  $\begin{align*}0.9D + 0.05\times(100 - D)&= 50\\0.9D + 5 - 0.05D&= 50\\0.85D&= 45\\D&=\frac{45}{0.85}\approx52.94\space kmol/h\end{align*}$
  将 $D = 52.94\space kmol/h$ 代入 $W = 100 - D$，可得 $W = 100 - 52.94 = 47.06\space kmol/h$。

（2）求第一块塔板下降的液体组成 $x_1$

因为塔顶为全凝器，所以塔顶蒸汽组成 $y_1$ 等于塔顶产品组成 $x_D$，即 $y_1 = x_D = 0.9$。
根据相平衡方程 $y=\frac{\alpha x}{1 + (\alpha - 1)x}$，变形可得 $x=\frac{y}{\alpha - (\alpha - 1)y}$。已知 $\alpha = 2.25$，$y_1 = 0.9$，代入可得：
$\begin{align*}x_1&=\frac{y_1}{\alpha - (\alpha - 1)y_1}\\&=\frac{0.9}{2.25 - (2.25 - 1)\times0.9}\\&=\frac{0.9}{2.25 - 1.25\times0.9}\\&=\frac{0.9}{2.25 - 1.125}\\&=\frac{0.9}{1.125}\\&= 0.80\end{align*}$

（3）写出提馏段操作线数值方程

提馏段操作线方程为 $y_{m + 1}=\frac{L'}{V'}x_m'-\frac{Wx_W}{V'}$，需要先求出 $V'$ 和 $L'$。

• 因为泡点进料 $q = 1$，所以 $V' = V=(R + 1)D$。已知 $R = 1.61$，$D = 52.94\space kmol/h$，则 $V'=(1.61 + 1)\times52.94 = 2.61\times52.94 = 138.17\space kmol/h$。
• $L' = L + qF = RD + F$。将 $R = 1.61$，$D = 52.94\space kmol/h$，$F = 100\space kmol/h$ 代入可得 $L' = 1.61\times52.94 + 100 = 85.23 + 100 = 185.23\space kmol/h$。
  将 $L' = 185.23\space kmol/h$，$V' = 138.17\space kmol/h$，$W = 47.06\space kmol/h$，$x_W = 0.05$ 代入提馏段操作线方程可得：
  $\begin{align*}y_{m + 1}&=\frac{L'}{V'}x_m'-\frac{Wx_W}{V'}\\&=\frac{185.23}{138.17}x_m'-\frac{47.06\times0.05}{138.17}\\&\approx1.34x_m' - 0.017\end{align*}$