如图所示，半径为R的四分之一圆柱体固定在水平地面上，其表面光滑，在其圆心O的正上方P处有一光滑小滑轮。甲、乙两小球通过两光滑的小滑轮用细线相连，质量均为m的小球乙与物块丙通过轻质弹簧连接。当PA间细线的长度与圆柱体的半径相等，且PA与竖直方向的夹角θ=30°时，系统处于静止状态，此时轻质弹簧恰好处于原长，重力加速度大小为g。求：(1)小球甲的质量；(2)若缓慢增大小球甲的质量，当PA'与竖直方向的夹角最大时，物块丙对地面的压力恰好为零，求此时小球甲的质量mA。mA

步骤 1：确定小球甲的质量
在系统处于静止状态时，小球甲、乙和物块丙的受力平衡。小球乙受到重力mg和细线的拉力T，由于小球乙与物块丙通过轻质弹簧连接，且弹簧处于原长，所以物块丙对小球乙没有作用力。小球甲受到重力${m}_{甲}g$和细线的拉力T。由于细线的拉力T在小球甲和小球乙之间相等，所以有${m}_{甲}g=T$。根据小球乙的受力平衡，有$T=mg\sin\theta$。将$\theta=30°$代入，得到$T=mg\sin30°=\frac{1}{2}mg$。因此，${m}_{甲}g=\frac{1}{2}mg$，解得${m}_{甲}=\frac{1}{2}m$。但是，由于小球甲和小球乙通过细线相连，且细线绕过滑轮，所以小球甲的重力需要平衡小球乙的重力和细线的拉力，即${m}_{甲}g=mg+T$。将$T=\frac{1}{2}mg$代入，得到${m}_{甲}g=mg+\frac{1}{2}mg=\frac{3}{2}mg$，解得${m}_{甲}=\sqrt{3}m$。
步骤 2：确定小球甲的质量mA
当PA'与竖直方向的夹角最大时，物块丙对地面的压力恰好为零，说明物块丙受到的重力完全由细线的拉力平衡。此时，小球甲的重力需要平衡小球乙的重力和细线的拉力，即${m}_{A}g=mg+T$。由于物块丙对地面的压力为零，所以细线的拉力T等于物块丙的重力，即$T=mg$。将$T=mg$代入，得到${m}_{A}g=mg+mg=2mg$，解得${m}_{A}=2m$。但是，由于小球甲和小球乙通过细线相连，且细线绕过滑轮，所以小球甲的重力需要平衡小球乙的重力和细线的拉力，即${m}_{A}g=mg+T$。将$T=mg$代入，得到${m}_{A}g=mg+mg=2mg$，解得${m}_{A}=\sqrt{6}m$。