题目
4.(计算题，40分)轻型飞机连同驾驶员总质量为m，飞机以v_(0)的速率在水平跑道上看陆后，驾驶员开始制动，若阻力与时间成正比，比例系数为b，求飞行t时间后飞机的速率。
4.(计算题，40分)轻型飞机连同驾驶员总质量为m，飞机以$v_{0}$的速率在水平跑道上看陆后，驾驶员开始制动，若阻力与时间成正比，比
例系数为b，求飞行t时间后飞机的速率。
题目解答
答案
为了确定飞机在制动 $ t $ 时间后的速率，我们需要分析作用在飞机上的力以及它们如何影响飞机的运动。作用在飞机上的唯一力是与时间成正比的阻力，比例系数为 $ b $。阻力 $ F $ 可以表示为：
\[ F = -bt \]
其中负号表示阻力与飞机的运动方向相反。根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度，因此我们可以写成：
\[ ma = -bt \]
由于加速度 $ a $ 是速度 $ v $ 的导数关于时间 $ t $，我们可以将 $ a $ 写作 $ \frac{dv}{dt} $。因此，方程变为：
\[ m \frac{dv}{dt} = -bt \]
这是一个可分离变量的微分方程。为了求解 $ v $，我们分离变量：
\[ \frac{dv}{dt} = -\frac{bt}{m} \]
\[ dv = -\frac{bt}{m} \, dt \]
接下来，我们对两边关于它们各自的变量进行积分。左边从初始速度 $ v_0 $ 积分到 $ t $ 时刻的速度 $ v $，右边从 $ t = 0 $ 积分到 $ t $：
\[ \int_{v_0}^{v} dv = -\frac{b}{m} \int_{0}^{t} t \, dt \]
左边的积分是：
\[ v - v_0 \]
右边的积分是：
\[ -\frac{b}{m} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{t} = -\frac{b}{m} \cdot \frac{t^2}{2} = -\frac{bt^2}{2m} \]
将两边的积分结果相等，我们得到：
\[ v - v_0 = -\frac{bt^2}{2m} \]
解出 $ v $，我们得到：
\[ v = v_0 - \frac{bt^2}{2m} \]
因此，飞机在 $ t $ 时间后的速率是：
\[ \boxed{v_0 - \frac{bt^2}{2m}} \]
解析
步骤 1：确定阻力与时间的关系
阻力 $F$ 与时间 $t$ 成正比，比例系数为 $b$，因此阻力可以表示为：\[ F = -bt \] 其中负号表示阻力与飞机的运动方向相反。
步骤 2：应用牛顿第二定律
根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度，因此我们可以写成：\[ ma = -bt \] 其中 $a$ 是加速度，$m$ 是飞机和驾驶员的总质量。
步骤 3：将加速度表示为速度的导数
加速度 $a$ 是速度 $v$ 的导数关于时间 $t$，因此我们可以将 $a$ 写作 $ \frac{dv}{dt} $。因此，方程变为：\[ m \frac{dv}{dt} = -bt \]
步骤 4：分离变量并积分
这是一个可分离变量的微分方程。为了求解 $v$，我们分离变量：\[ \frac{dv}{dt} = -\frac{bt}{m} \] \[ dv = -\frac{bt}{m} \, dt \] 接下来，我们对两边关于它们各自的变量进行积分。左边从初始速度 $v_0$ 积分到 $t$ 时刻的速度 $v$，右边从 $t = 0$ 积分到 $t$：\[ \int_{v_0}^{v} dv = -\frac{b}{m} \int_{0}^{t} t \, dt \]
步骤 5：计算积分
左边的积分是：\[ v - v_0 \] 右边的积分是：\[ -\frac{b}{m} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{t} = -\frac{b}{m} \cdot \frac{t^2}{2} = -\frac{bt^2}{2m} \]
步骤 6：求解速度 $v$
将两边的积分结果相等，我们得到：\[ v - v_0 = -\frac{bt^2}{2m} \] 解出 $v$，我们得到：\[ v = v_0 - \frac{bt^2}{2m} \]
阻力 $F$ 与时间 $t$ 成正比，比例系数为 $b$，因此阻力可以表示为：\[ F = -bt \] 其中负号表示阻力与飞机的运动方向相反。
步骤 2：应用牛顿第二定律
根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度，因此我们可以写成：\[ ma = -bt \] 其中 $a$ 是加速度，$m$ 是飞机和驾驶员的总质量。
步骤 3：将加速度表示为速度的导数
加速度 $a$ 是速度 $v$ 的导数关于时间 $t$，因此我们可以将 $a$ 写作 $ \frac{dv}{dt} $。因此，方程变为：\[ m \frac{dv}{dt} = -bt \]
步骤 4：分离变量并积分
这是一个可分离变量的微分方程。为了求解 $v$，我们分离变量：\[ \frac{dv}{dt} = -\frac{bt}{m} \] \[ dv = -\frac{bt}{m} \, dt \] 接下来，我们对两边关于它们各自的变量进行积分。左边从初始速度 $v_0$ 积分到 $t$ 时刻的速度 $v$，右边从 $t = 0$ 积分到 $t$：\[ \int_{v_0}^{v} dv = -\frac{b}{m} \int_{0}^{t} t \, dt \]
步骤 5：计算积分
左边的积分是：\[ v - v_0 \] 右边的积分是：\[ -\frac{b}{m} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{t} = -\frac{b}{m} \cdot \frac{t^2}{2} = -\frac{bt^2}{2m} \]
步骤 6：求解速度 $v$
将两边的积分结果相等，我们得到：\[ v - v_0 = -\frac{bt^2}{2m} \] 解出 $v$，我们得到：\[ v = v_0 - \frac{bt^2}{2m} \]