2求证半径为a的圆管中粘性液体层流状态时,管中摩阻应力极大值为(u为液体粘度V为平均流速

考查要点：本题主要考查圆管层流流动中剪切应力的分布规律及极大值的推导，涉及流体力学中的基本公式应用。

解题核心思路：

1. 建立平均流速与压降的关系：利用圆管层流的平均流速公式，将压降梯度（$\frac{\Delta P}{L}$）用平均流速$V$和粘度$\mu$表示。
2. 剪切应力表达式：根据牛顿内摩擦定律，结合圆管壁面处的速度梯度，推导剪切应力$\tau$的表达式。
3. 代数化简：通过直径$D$与半径$a$的关系（$D=2a$），代入并化简表达式，最终得到剪切应力极大值。

破题关键点：

• 正确应用层流平均流速公式：$V = \frac{\Delta P D^2}{32 \mu L}$。
• 明确剪切应力与压降梯度的关系：$\tau = \frac{\Delta P R}{2L}$，其中$R=a$为管壁半径。

步骤1：建立平均流速与压降的关系

根据圆管层流的平均流速公式：
$V = \frac{\Delta P D^2}{32 \mu L}$
将公式变形，得到压降梯度：
$\frac{\Delta P}{L} = \frac{32 \mu V}{D^2}$

步骤2：推导剪切应力表达式

剪切应力在管壁处的表达式为：
$\tau = \frac{\Delta P R}{2L}$
其中，$R=a$为圆管半径。将$\frac{\Delta P}{L}$代入：
$\tau = \frac{32 \mu V}{D^2} \cdot \frac{a}{2}$

步骤3：代入直径与半径的关系

由于圆管直径$D=2a$，代入$D^2=(2a)^2=4a^2$：
$\tau = \frac{32 \mu V}{4a^2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{4 \mu V}{a}$

结论：管壁处的剪切应力极大值为$\tau_{\text{max}} = \frac{4 \mu V}{a}$。