题目
2.2 一平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上,设此孔可以像摄像机-|||-光圈那样改变大小.问:(1)小孔半径应满足什么条件时,才能使得此小孔右侧轴线上距-|||-小孔中心4m的P点的光强分别得到极大值和极小值;(2)P点最亮时,小孔直径应为多-|||-大?设此光的波长为500nm.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定光强极大值和极小值的条件
光通过小孔后，会在小孔右侧轴线上形成衍射图样。根据菲涅耳衍射理论，当小孔半径满足特定条件时，P点的光强会达到极大值或极小值。对于极大值，小孔半径应满足 ${R}_{mk} = \frac{m\lambda L}{\pi}$，其中 $m$ 为奇数；对于极小值，小孔半径应满足 ${R}_{mk} = \frac{m\lambda L}{\pi}$，其中 $m$ 为偶数。这里，$\lambda$ 是光的波长，$L$ 是小孔到P点的距离。
步骤 2：计算极大值和极小值时的小孔半径
将给定的波长 $\lambda = 500\ nm = 500 \times 10^{-9}\ m$ 和距离 $L = 4\ m$ 代入上述公式，得到极大值时的小孔半径 ${R}_{mk} = \frac{m \times 500 \times 10^{-9} \times 4}{\pi} = \frac{2000m \times 10^{-9}}{\pi} = 0.141\sqrt{m} \times 10^{-2}\ m = 0.141\sqrt{m}\ cm$，其中 $m$ 为奇数；极小值时的小孔半径 ${R}_{mk} = \frac{m \times 500 \times 10^{-9} \times 4}{\pi} = \frac{2000m \times 10^{-9}}{\pi} = 0.141\sqrt{m} \times 10^{-2}\ m = 0.141\sqrt{m}\ cm$，其中 $m$ 为偶数。
步骤 3：计算P点最亮时的小孔直径
P点最亮时，小孔半径应满足极大值条件，即 $m$ 为奇数。取 $m = 1$，则小孔半径 ${R}_{1} = 0.141\ cm$，小孔直径 $d_{1} = 2R_{1} = 0.282\ cm$。
光通过小孔后，会在小孔右侧轴线上形成衍射图样。根据菲涅耳衍射理论，当小孔半径满足特定条件时，P点的光强会达到极大值或极小值。对于极大值，小孔半径应满足 ${R}_{mk} = \frac{m\lambda L}{\pi}$，其中 $m$ 为奇数；对于极小值，小孔半径应满足 ${R}_{mk} = \frac{m\lambda L}{\pi}$，其中 $m$ 为偶数。这里，$\lambda$ 是光的波长，$L$ 是小孔到P点的距离。
步骤 2：计算极大值和极小值时的小孔半径
将给定的波长 $\lambda = 500\ nm = 500 \times 10^{-9}\ m$ 和距离 $L = 4\ m$ 代入上述公式，得到极大值时的小孔半径 ${R}_{mk} = \frac{m \times 500 \times 10^{-9} \times 4}{\pi} = \frac{2000m \times 10^{-9}}{\pi} = 0.141\sqrt{m} \times 10^{-2}\ m = 0.141\sqrt{m}\ cm$，其中 $m$ 为奇数；极小值时的小孔半径 ${R}_{mk} = \frac{m \times 500 \times 10^{-9} \times 4}{\pi} = \frac{2000m \times 10^{-9}}{\pi} = 0.141\sqrt{m} \times 10^{-2}\ m = 0.141\sqrt{m}\ cm$，其中 $m$ 为偶数。
步骤 3：计算P点最亮时的小孔直径
P点最亮时，小孔半径应满足极大值条件，即 $m$ 为奇数。取 $m = 1$，则小孔半径 ${R}_{1} = 0.141\ cm$，小孔直径 $d_{1} = 2R_{1} = 0.282\ cm$。