题目
[题目]如图所示,一均匀细杆AB,长为l,质量-|||-为m,A端挂在一光滑的固定水平轴上,它可以在竖-|||-直平面内自由摆动,杆从水平位置由静止开始下-|||-摆,向下摆至θ角时,B端速度的大小 = __-|||-__ .-|||-A B
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定杆的重心下降高度
当杆从水平位置由静止开始下摆至θ角时，杆的重心下降的高度为 $h=\dfrac {1}{2}l(1-\cos \theta)$，其中 $l$ 是杆的长度，$\theta$ 是杆与竖直方向的夹角。
步骤 2：应用机械能守恒定律
杆在下摆动过程中机械能守恒，即杆的重力势能转化为动能。根据机械能守恒定律，有 $mgh=\dfrac {1}{2}I\omega^2$，其中 $I$ 是杆绕A端的转动惯量，$\omega$ 是杆的角速度。
步骤 3：计算杆的转动惯量和角速度
杆绕A端的转动惯量为 $I=\dfrac {1}{3}ml^2$，杆的角速度 $\omega=\dfrac {v_B}{l}$，其中 $v_B$ 是B端的速度。
步骤 4：求解B端速度
将步骤1、2、3中的表达式代入机械能守恒定律，得到 $mg\cdot \dfrac {1}{2}l(1-\cos \theta)=\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {1}{3}ml^2\cdot \left(\dfrac {v_B}{l}\right)^2$，化简后得到 $v_B=2\sqrt{\dfrac {gl}{3}(1-\cos \theta)}$。
当杆从水平位置由静止开始下摆至θ角时，杆的重心下降的高度为 $h=\dfrac {1}{2}l(1-\cos \theta)$，其中 $l$ 是杆的长度，$\theta$ 是杆与竖直方向的夹角。
步骤 2：应用机械能守恒定律
杆在下摆动过程中机械能守恒，即杆的重力势能转化为动能。根据机械能守恒定律，有 $mgh=\dfrac {1}{2}I\omega^2$，其中 $I$ 是杆绕A端的转动惯量，$\omega$ 是杆的角速度。
步骤 3：计算杆的转动惯量和角速度
杆绕A端的转动惯量为 $I=\dfrac {1}{3}ml^2$，杆的角速度 $\omega=\dfrac {v_B}{l}$，其中 $v_B$ 是B端的速度。
步骤 4：求解B端速度
将步骤1、2、3中的表达式代入机械能守恒定律，得到 $mg\cdot \dfrac {1}{2}l(1-\cos \theta)=\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {1}{3}ml^2\cdot \left(\dfrac {v_B}{l}\right)^2$，化简后得到 $v_B=2\sqrt{\dfrac {gl}{3}(1-\cos \theta)}$。