题目
如图6所示,长为l、质量为m的均匀细杆可绕水平光滑固定轴O转动,开始时杆静止在竖直位置.另一质量也为m的小球,用长也为l的轻绳系于O轴上.现将小球在竖直平面内拉开,使轻绳与竖直方向的夹角,然后使小球自由下摆与杆端发生弹性相碰,结果使杆的最大偏角为.求角度.
如图6所示,长为l、质量为m的均匀细杆可绕水平光滑固定轴O转动,开始时杆静止在竖直位置.另一质量也为m的小球,用长也为l的轻绳系于O轴上.现将小球在竖直平面内拉开,使轻绳与竖直方向的夹角,然后使小球自由下摆与杆端发生弹性相碰,结果使杆的最大偏角为
.求角度.
题目解答
答案
解:小球下摆,(小球、地球)系统只有重力做功,机械能守恒,设杆静止时的最低端处为重力势能零点,有
(1)
球、杆弹性碰撞,(小球、细杆)系统,重力(此刻竖直)和轴力对轴O的力矩为零,系统角动量守恒;且因是弹性碰撞,碰撞前后系统动能不变,设小球碰前、后的速度大小分别为v和v,碰后杆的角速度为
,角动量守恒式为
(2)
动能守恒式为
(3)
杆上摆,(细杆、地球)系统,只有重力做功,机械能守恒,取杆的中点处为重力势能的零点,有
(4)
联立(1) ~ (4)式有 
,得到 
解析
步骤 1：小球下摆过程中的机械能守恒
小球下摆时，小球和地球组成的系统只有重力做功，机械能守恒。设杆静止时的最低端处为重力势能零点，有
$$
mgl(1-\cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2
$$
步骤 2：小球与杆碰撞过程中的角动量守恒和动能守恒
小球与杆发生弹性碰撞时，小球和杆组成的系统角动量守恒，且碰撞前后系统动能不变。设小球碰前、后的速度大小分别为$v$和$v_1$，碰后杆的角速度为$\omega$，角动量守恒式为
$$
mvl = mv_1l + \frac{1}{3}m{l}^{2}\omega
$$
动能守恒式为
$$
\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{3}m{l}^{2})\omega^2
$$
步骤 3：杆上摆过程中的机械能守恒
杆上摆时，杆和地球组成的系统只有重力做功，机械能守恒。取杆的中点处为重力势能的零点，有
$$
\frac{1}{2}(\frac{1}{3}m{l}^{2})\omega^2 = mg\frac{1}{2}(1-\cos \frac{\pi}{3})
$$
步骤 4：联立求解
联立上述方程，求解$\theta$。
小球下摆时，小球和地球组成的系统只有重力做功，机械能守恒。设杆静止时的最低端处为重力势能零点，有
$$
mgl(1-\cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2
$$
步骤 2：小球与杆碰撞过程中的角动量守恒和动能守恒
小球与杆发生弹性碰撞时，小球和杆组成的系统角动量守恒，且碰撞前后系统动能不变。设小球碰前、后的速度大小分别为$v$和$v_1$，碰后杆的角速度为$\omega$，角动量守恒式为
$$
mvl = mv_1l + \frac{1}{3}m{l}^{2}\omega
$$
动能守恒式为
$$
\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{3}m{l}^{2})\omega^2
$$
步骤 3：杆上摆过程中的机械能守恒
杆上摆时，杆和地球组成的系统只有重力做功，机械能守恒。取杆的中点处为重力势能的零点，有
$$
\frac{1}{2}(\frac{1}{3}m{l}^{2})\omega^2 = mg\frac{1}{2}(1-\cos \frac{\pi}{3})
$$
步骤 4：联立求解
联立上述方程，求解$\theta$。