题目
例4.16 如图所示,杆AC的A B段为外直径20 mm、内直径10mm的空心圆杆,BC段-|||-为直径20 mm的实心圆杆。在B和C截面处分别作用有外力偶矩 _(B)=238Ncdot m 和 =-|||-120N·m,且在C截面处有杆DC与其连为一整体,如图所示。已知杆材的切变模量 G=25-|||-GPa,试求杆AC横截面上的最大切应力和杆DC的D端线位移 △D ?-|||-D-|||-10mm-|||-M 4 M-|||-A B C-|||-1.5m 1m-|||-例4.16图
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算AB段和BC段的扭矩
根据题意，杆AC在B和C截面处分别作用有外力偶矩 ${M}_{B}=238N\cdot m$ 和 $MC=$ 120N·m。由平衡方程 ∑M=0可得 ${M}_{A}=118N\cdot m$。因此，AB段的扭矩为 ${T}_{AB}=118N\cdot m$，BC段的扭矩为 ${T}_{BC}=120N\cdot m$。
步骤 2：计算AB段和BC段的抗扭截面模量
AB段为外直径20 mm、内直径10mm的空心圆杆，BC段为直径20 mm的实心圆杆。AB段的抗扭截面模量 ${W}_{AB}=\dfrac {\pi }{16}\left ( {D^{4}-d^{4}} \right )=\dfrac {\pi }{16}\left ( {20^{4}-10^{4}} \right )=15708mm^{3}$。BC段的抗扭截面模量 ${W}_{BC}=\dfrac {\pi }{16}D^{4}=\dfrac {\pi }{16}20^{4}=15708mm^{3}$。
步骤 3：计算最大切应力
最大剪应力发生在AB段，即 ${I}_{max}=\dfrac {{T}_{AB}}{{W}_{AB}}=\dfrac {118\times 10^{3}}{15708}=7.51MPa$。
步骤 4：计算杆DC的D端线位移
$\varphi x=\varphi UND+\varphi x=-\dfrac {{T}_{AB}{L}_{AB}}{G{I}_{m}}+\dfrac {{T}_{1}{L}_{1x}}{G{I}_{m}}$ $=-0.176\quad rad$ (顺时针转向) $\Delta \phi =DC\cdot \varphi x=3.52mm$。
根据题意，杆AC在B和C截面处分别作用有外力偶矩 ${M}_{B}=238N\cdot m$ 和 $MC=$ 120N·m。由平衡方程 ∑M=0可得 ${M}_{A}=118N\cdot m$。因此，AB段的扭矩为 ${T}_{AB}=118N\cdot m$，BC段的扭矩为 ${T}_{BC}=120N\cdot m$。
步骤 2：计算AB段和BC段的抗扭截面模量
AB段为外直径20 mm、内直径10mm的空心圆杆，BC段为直径20 mm的实心圆杆。AB段的抗扭截面模量 ${W}_{AB}=\dfrac {\pi }{16}\left ( {D^{4}-d^{4}} \right )=\dfrac {\pi }{16}\left ( {20^{4}-10^{4}} \right )=15708mm^{3}$。BC段的抗扭截面模量 ${W}_{BC}=\dfrac {\pi }{16}D^{4}=\dfrac {\pi }{16}20^{4}=15708mm^{3}$。
步骤 3：计算最大切应力
最大剪应力发生在AB段，即 ${I}_{max}=\dfrac {{T}_{AB}}{{W}_{AB}}=\dfrac {118\times 10^{3}}{15708}=7.51MPa$。
步骤 4：计算杆DC的D端线位移
$\varphi x=\varphi UND+\varphi x=-\dfrac {{T}_{AB}{L}_{AB}}{G{I}_{m}}+\dfrac {{T}_{1}{L}_{1x}}{G{I}_{m}}$ $=-0.176\quad rad$ (顺时针转向) $\Delta \phi =DC\cdot \varphi x=3.52mm$。