题目
一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度ω绕一个直径旋转，求球心处的磁感应强度B。
一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度ω绕一个直径旋转，求球心处的磁感应强度B。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电流分布
当导体球以均匀角速度ω绕一个直径旋转时，球面上的电荷会形成环形电流。每个环形电流的电流强度为 $I = \frac{dQ}{dt} = \frac{Q}{T} = \frac{Q\omega}{2\pi}$，其中 $T = \frac{2\pi}{\omega}$ 是旋转周期。
步骤 2：计算单个环形电流在球心处的磁感应强度
考虑球面上一个半径为 $b = a\sin\theta$ 的细圆环，其中 $\theta$ 是从球心到圆环中心的半径与球体直径的夹角。该圆环平面到球心的距离为 $d = a|\cos\theta|$。根据毕奥-萨伐尔定律，该细圆环电流在球心处产生的磁感应强度为 $dB = \frac{\mu_0 I b^2}{2 (b^2 + d^2)^{3/2}}$，其中 $\mu_0$ 是真空磁导率。
步骤 3：积分求解总磁感应强度
将 $I = \frac{Q\omega}{2\pi}$ 和 $b = a\sin\theta$ 代入 $dB$ 的表达式中，得到 $dB = \frac{\mu_0 Q\omega a^2 \sin^3\theta}{4\pi (a^2)^{3/2}} d\theta = \frac{\mu_0 Q\omega \sin^3\theta}{4\pi a} d\theta$。对 $\theta$ 从 $0$ 到 $\pi$ 积分，得到球心处的总磁感应强度 $B = \int_0^\pi dB = \frac{\mu_0 Q\omega}{4\pi a} \int_0^\pi \sin^3\theta d\theta$。利用 $\int_0^\pi \sin^3\theta d\theta = \frac{4}{3}$，得到 $B = \frac{\mu_0 Q\omega}{3\pi a}$。
当导体球以均匀角速度ω绕一个直径旋转时，球面上的电荷会形成环形电流。每个环形电流的电流强度为 $I = \frac{dQ}{dt} = \frac{Q}{T} = \frac{Q\omega}{2\pi}$，其中 $T = \frac{2\pi}{\omega}$ 是旋转周期。
步骤 2：计算单个环形电流在球心处的磁感应强度
考虑球面上一个半径为 $b = a\sin\theta$ 的细圆环，其中 $\theta$ 是从球心到圆环中心的半径与球体直径的夹角。该圆环平面到球心的距离为 $d = a|\cos\theta|$。根据毕奥-萨伐尔定律，该细圆环电流在球心处产生的磁感应强度为 $dB = \frac{\mu_0 I b^2}{2 (b^2 + d^2)^{3/2}}$，其中 $\mu_0$ 是真空磁导率。
步骤 3：积分求解总磁感应强度
将 $I = \frac{Q\omega}{2\pi}$ 和 $b = a\sin\theta$ 代入 $dB$ 的表达式中，得到 $dB = \frac{\mu_0 Q\omega a^2 \sin^3\theta}{4\pi (a^2)^{3/2}} d\theta = \frac{\mu_0 Q\omega \sin^3\theta}{4\pi a} d\theta$。对 $\theta$ 从 $0$ 到 $\pi$ 积分，得到球心处的总磁感应强度 $B = \int_0^\pi dB = \frac{\mu_0 Q\omega}{4\pi a} \int_0^\pi \sin^3\theta d\theta$。利用 $\int_0^\pi \sin^3\theta d\theta = \frac{4}{3}$，得到 $B = \frac{\mu_0 Q\omega}{3\pi a}$。