题目
如图所示，两个同心的薄金属球壳，内、外球壳半径分别为(R)_(1)=0.02m和(R)_(2)=0.06m。球壳间充满两层均匀的电介质，它们的相对介电常数分别为(varepsilon )_(1)=6，(varepsilon )_(2)=3。两层电介质分e界面半径R=0.04m。设内球壳甲带电量Q=-6times (10)^-8C，求：E2-|||-R-|||-R-|||-R,-|||-ε1(1)D和E的分布，并画mathrm(D)-mathrm(r)、mathrm(E)-mathrm(r)曲线；(2)两球壳之间的电势差； (3)贴近内金属壳的电介质表面上面束缚电荷密度。
如图所示，两个同心的薄金属球壳，内、外球壳半径分别为${R}_{1}=0.02m$和${R}_{2}=0.06m$。球壳间充满两层均匀的电介质，它们的相对介电常数分别为${\varepsilon }_{1}=6$，${\varepsilon }_{2}=3$。两层电介质分e界面半径$R=0.04m$。设内球壳甲带电量$Q=-6\times {10}^{-8}C$，求：
(1)D和E的分布，并画$\mathrm{D}-\mathrm{r}$、$\mathrm{E}-\mathrm{r}$曲线；
(2)两球壳之间的电势差；
(3)贴近内金属壳的电介质表面上面束缚电荷密度。
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算电位移矢量D和电场强度E的分布
在球壳内，电位移矢量D和电场强度E的分布由高斯定理决定。对于球壳内的电介质，电位移矢量D和电场强度E的分布可以表示为：
$D(r) = \frac{Q}{4\pi r^2}$，$E(r) = \frac{D(r)}{\varepsilon(r)}$，其中$\varepsilon(r)$是电介质的介电常数。
在$0.02m < r < 0.04m$的区域，$\varepsilon(r) = \varepsilon_0 \varepsilon_1$，在$0.04m < r < 0.06m$的区域，$\varepsilon(r) = \varepsilon_0 \varepsilon_2$。
步骤 2：计算两球壳之间的电势差
两球壳之间的电势差可以通过积分电场强度E来计算。电势差$\Delta V$可以表示为：
$\Delta V = -\int_{R_1}^{R_2} E(r) dr$。
步骤 3：计算贴近内金属壳的电介质表面上面束缚电荷密度
贴近内金属壳的电介质表面上面束缚电荷密度可以通过电位移矢量D的法向分量来计算。束缚电荷密度$\sigma_b$可以表示为：
$\sigma_b = D(R_1) - D(R_1^-)$，其中$D(R_1^-)$是内球壳表面外侧的电位移矢量。
在球壳内，电位移矢量D和电场强度E的分布由高斯定理决定。对于球壳内的电介质，电位移矢量D和电场强度E的分布可以表示为：
$D(r) = \frac{Q}{4\pi r^2}$，$E(r) = \frac{D(r)}{\varepsilon(r)}$，其中$\varepsilon(r)$是电介质的介电常数。
在$0.02m < r < 0.04m$的区域，$\varepsilon(r) = \varepsilon_0 \varepsilon_1$，在$0.04m < r < 0.06m$的区域，$\varepsilon(r) = \varepsilon_0 \varepsilon_2$。
步骤 2：计算两球壳之间的电势差
两球壳之间的电势差可以通过积分电场强度E来计算。电势差$\Delta V$可以表示为：
$\Delta V = -\int_{R_1}^{R_2} E(r) dr$。
步骤 3：计算贴近内金属壳的电介质表面上面束缚电荷密度
贴近内金属壳的电介质表面上面束缚电荷密度可以通过电位移矢量D的法向分量来计算。束缚电荷密度$\sigma_b$可以表示为：
$\sigma_b = D(R_1) - D(R_1^-)$，其中$D(R_1^-)$是内球壳表面外侧的电位移矢量。