题目
例2 一带电细线弯成半径为R的半圆形,其电荷线密度为 lambda =(lambda )_(0)sin theta ,式中θ为半径R与-|||-x轴所成的夹角,λ0为一常数,如图所示,试求环心0处的电场强度。-|||-dq-|||-dE-|||-0 x
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电荷元
在θ处取电荷元，其电量为 $dq=\lambda dl={\lambda }_{0}R\sin \theta d\theta $，其中 $\lambda ={\lambda }_{0}\sin \theta $ 是电荷线密度，$dl=Rd\theta $ 是线元长度。
步骤 2：计算电荷元在环心处产生的电场
电荷元在环心处产生的电场为 $dE=\dfrac {dq}{4\pi {\varepsilon }_{0}{R}^{2}}=\dfrac {{\lambda }_{0}\sin \theta d\theta }{4\pi {\varepsilon }_{0}R}$，其中 ${\varepsilon }_{0}$ 是真空介电常数。
步骤 3：计算电场的分量
电场在x、y轴上的两个分量分别为 $d{E}_{x}=-dE\cos \theta $ 和 $d{E}_{y}=-dE\sin \theta $。由于对称性，x方向的分量相互抵消，因此 ${E}_{x}=0$。y方向的分量需要积分求和。
步骤 4：积分求解电场的y分量
${E}_{y}=-\dfrac {{\lambda }_{0}}{4\pi {\varepsilon }_{0}R}{\int }_{0}^{\pi }{\sin }^{2}\theta d\theta =-\dfrac {{\lambda }_{0}}{8{\varepsilon }_{0}R}$，其中积分 ${\int }_{0}^{\pi }{\sin }^{2}\theta d\theta =\dfrac {\pi }{2}$。
步骤 5：确定电场的大小和方向
由于 ${E}_{x}=0$，电场的大小为 $E={E}_{y}=-\dfrac {{\lambda }_{0}}{8{\varepsilon }_{0}R}$，方向沿y轴负方向。
在θ处取电荷元，其电量为 $dq=\lambda dl={\lambda }_{0}R\sin \theta d\theta $，其中 $\lambda ={\lambda }_{0}\sin \theta $ 是电荷线密度，$dl=Rd\theta $ 是线元长度。
步骤 2：计算电荷元在环心处产生的电场
电荷元在环心处产生的电场为 $dE=\dfrac {dq}{4\pi {\varepsilon }_{0}{R}^{2}}=\dfrac {{\lambda }_{0}\sin \theta d\theta }{4\pi {\varepsilon }_{0}R}$，其中 ${\varepsilon }_{0}$ 是真空介电常数。
步骤 3：计算电场的分量
电场在x、y轴上的两个分量分别为 $d{E}_{x}=-dE\cos \theta $ 和 $d{E}_{y}=-dE\sin \theta $。由于对称性，x方向的分量相互抵消，因此 ${E}_{x}=0$。y方向的分量需要积分求和。
步骤 4：积分求解电场的y分量
${E}_{y}=-\dfrac {{\lambda }_{0}}{4\pi {\varepsilon }_{0}R}{\int }_{0}^{\pi }{\sin }^{2}\theta d\theta =-\dfrac {{\lambda }_{0}}{8{\varepsilon }_{0}R}$，其中积分 ${\int }_{0}^{\pi }{\sin }^{2}\theta d\theta =\dfrac {\pi }{2}$。
步骤 5：确定电场的大小和方向
由于 ${E}_{x}=0$，电场的大小为 $E={E}_{y}=-\dfrac {{\lambda }_{0}}{8{\varepsilon }_{0}R}$，方向沿y轴负方向。