一质点作简谐振动，周期为T.当由平衡位置向x轴正方向运动时，从1/2最大位移处运动到最大位移处这段路程所需要的时间为()A.T/12B.T/8C.T/6D.T/4
一质点作简谐振动，周期为T.当由平衡位置向x轴正方向运动时，从1/2最大位移处运动到最大位移处这段路程所需要的时间为()
A.T/12
B.T/8
C.T/6
D.T/4
题目解答
答案
我们知道，在简谐振动中，质点的位置可以用正弦函数或余弦函数表示。对于位移函数x(t) = A * cos(ωt + φ)，其中A为最大位移，ω为角频率，t为时间，φ为相位常数。
假设T为振动的周期，所以我们需要求的就是在一个周期内，质点从1/2最大位移处到最大位移处所需要的时间。
当质点位移为1/2最大位移时，即x(t) = A/2。
将此代入位移函数中，可以得到cos(ωt + φ) = 1/2。
根据余弦函数的性质，我们知道当ωt + φ = π/3 或 5π/3 时，cos(ωt + φ) = 1/2 成立。
以第一个可能的解ωt + φ = π/3为例，我们可以解出t的值为t = (π/3 - φ)/ω。
而周期T与角频率ω的关系为T = 2π/ω，可以得到ω = 2π/T。
将ω代入上式，可以得到t = T/6 - φ/(2π)。
由上面的推导可知，质点从1/2最大位移处到最大位移处所需要的时间为T/6 - φ/(2π)。因为φ为相位常数，对于简谐振动来说不影响时间的计算，所以φ/(2π)可以忽略。
因此，质点从1/2最大位移处到最大位移处所需要的时间近似为T/6。
综上所述，正确答案选项为 C.T/6。
解析
考查要点：本题主要考查简谐振动的运动学特点，特别是相位与位移的关系，以及周期与时间的计算。
解题核心思路：
- 简谐振动的位移公式：质点的位移可表示为$x(t) = A \sin(\omega t)$（或余弦形式，需根据初始条件调整相位）。
- 相位与运动方向：质点从平衡位置向正方向运动时，初始相位需满足$x(0)=0$且速度为正。
- 时间计算：通过位移方程求解质点从$x = \frac{A}{2}$到$x = A$的相位差，结合周期公式$T = \frac{2\pi}{\omega}$计算时间。
破题关键点：
- 确定相位关系：当位移为$\frac{A}{2}$时，对应相位为$\frac{\pi}{6}$；位移为$A$时，对应相位为$\frac{\pi}{2}$。
- 相位差对应时间：相位差$\Delta \phi = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$，对应时间为$\frac{\Delta \phi}{\omega} = \frac{\pi}{3\omega} = \frac{T}{6}$。
步骤1：建立位移方程
质点从平衡位置向正方向运动，位移公式可取：
$x(t) = A \sin(\omega t)$
其中，$A$为振幅，$\omega = \frac{2\pi}{T}$为角频率。
步骤2：求位移为$\frac{A}{2}$的时间
当$x = \frac{A}{2}$时：
$\sin(\omega t_1) = \frac{1}{2} \implies \omega t_1 = \frac{\pi}{6} \quad (\text{取第一象限解})$
解得：
$t_1 = \frac{\pi}{6\omega}$
步骤3：求位移为$A$的时间
当$x = A$时：
$\sin(\omega t_2) = 1 \implies \omega t_2 = \frac{\pi}{2}$
解得：
$t_2 = \frac{\pi}{2\omega}$
步骤4：计算时间差
从$\frac{A}{2}$到$A$的时间为：
$\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{\pi}{2\omega} - \frac{\pi}{6\omega} = \frac{\pi}{3\omega}$
代入$\omega = \frac{2\pi}{T}$得：
$\Delta t = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{6}$