题目
4-10 图(a)为一简谐运动质点的速度与时间的关系曲线,且振幅为-|||-2cm,求:(1)振动周期;(2)加速度的最大值;(3)运动方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定振动周期
从题目中给出的速度与时间的关系曲线，我们可以看到速度的最大值为 $1.5 \, \text{cm/s}$。根据简谐运动的速度公式 $v = A\omega \cos(\omega t + \varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$\omega$ 是角频率，$\varphi$ 是初相位。当速度达到最大值时，$\cos(\omega t + \varphi) = 1$，因此最大速度 $v_{max} = A\omega$。已知 $A = 2 \, \text{cm}$，$v_{max} = 1.5 \, \text{cm/s}$，可以求出角频率 $\omega$。
步骤 2：计算角频率
根据 $v_{max} = A\omega$，代入已知值 $1.5 = 2\omega$，解得 $\omega = 0.75 \, \text{s}^{-1}$。
步骤 3：计算振动周期
振动周期 $T$ 与角频率 $\omega$ 的关系为 $T = \frac{2\pi}{\omega}$，代入 $\omega = 0.75 \, \text{s}^{-1}$，计算得到 $T = \frac{2\pi}{0.75} = \frac{8\pi}{3} \, \text{s}$。
步骤 4：计算加速度的最大值
加速度的最大值 $a_{max}$ 与角频率 $\omega$ 和振幅 $A$ 的关系为 $a_{max} = A\omega^2$，代入已知值 $A = 2 \, \text{cm}$，$\omega = 0.75 \, \text{s}^{-1}$，计算得到 $a_{max} = 2 \times (0.75)^2 = 1.125 \, \text{cm/s}^2$。
步骤 5：确定运动方程
根据题目中给出的速度与时间的关系曲线，当 $t = 0$ 时，速度 $v = 0.75 \, \text{cm/s}$，且之后速度越来越大，因此可以判断出质点沿x轴正向向着平衡点运动。利用 $v = -A\omega \sin(\omega t + \varphi)$，代入已知值 $v = 0.75 \, \text{cm/s}$，$A = 2 \, \text{cm}$，$\omega = 0.75 \, \text{s}^{-1}$，解得 $\sin(\varphi) = -\frac{1}{2}$，因此 $\varphi = -\frac{\pi}{6}$ 或 $\varphi = -\frac{5\pi}{6}$。因为质点沿x轴正向向平衡位置运动，所以取 $\varphi = -\frac{5\pi}{6}$。因此，运动方程为 $x = 2\cos(0.75t - \frac{5\pi}{6})$。
从题目中给出的速度与时间的关系曲线，我们可以看到速度的最大值为 $1.5 \, \text{cm/s}$。根据简谐运动的速度公式 $v = A\omega \cos(\omega t + \varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$\omega$ 是角频率，$\varphi$ 是初相位。当速度达到最大值时，$\cos(\omega t + \varphi) = 1$，因此最大速度 $v_{max} = A\omega$。已知 $A = 2 \, \text{cm}$，$v_{max} = 1.5 \, \text{cm/s}$，可以求出角频率 $\omega$。
步骤 2：计算角频率
根据 $v_{max} = A\omega$，代入已知值 $1.5 = 2\omega$，解得 $\omega = 0.75 \, \text{s}^{-1}$。
步骤 3：计算振动周期
振动周期 $T$ 与角频率 $\omega$ 的关系为 $T = \frac{2\pi}{\omega}$，代入 $\omega = 0.75 \, \text{s}^{-1}$，计算得到 $T = \frac{2\pi}{0.75} = \frac{8\pi}{3} \, \text{s}$。
步骤 4：计算加速度的最大值
加速度的最大值 $a_{max}$ 与角频率 $\omega$ 和振幅 $A$ 的关系为 $a_{max} = A\omega^2$，代入已知值 $A = 2 \, \text{cm}$，$\omega = 0.75 \, \text{s}^{-1}$，计算得到 $a_{max} = 2 \times (0.75)^2 = 1.125 \, \text{cm/s}^2$。
步骤 5：确定运动方程
根据题目中给出的速度与时间的关系曲线，当 $t = 0$ 时，速度 $v = 0.75 \, \text{cm/s}$，且之后速度越来越大，因此可以判断出质点沿x轴正向向着平衡点运动。利用 $v = -A\omega \sin(\omega t + \varphi)$，代入已知值 $v = 0.75 \, \text{cm/s}$，$A = 2 \, \text{cm}$，$\omega = 0.75 \, \text{s}^{-1}$，解得 $\sin(\varphi) = -\frac{1}{2}$，因此 $\varphi = -\frac{\pi}{6}$ 或 $\varphi = -\frac{5\pi}{6}$。因为质点沿x轴正向向平衡位置运动，所以取 $\varphi = -\frac{5\pi}{6}$。因此，运动方程为 $x = 2\cos(0.75t - \frac{5\pi}{6})$。