2.12 质量为m1的球以速度v1与质量为m2的静止球正碰.求碰撞后两球相对于质心-|||-的速度u`1和u2是多少?碰撞前两球相对于质心的动能是多少?恢复系数e为已知.

考查要点：本题主要考查碰撞问题中质心参考系的应用，包括碰撞前后速度变换及动能计算。
解题核心思路：

1. 质心参考系下总动量为零，碰撞前后总动量守恒；
2. 碰撞后相对速度与恢复系数相关，速度方向反转并缩放；
3. 动能需转换为质心系下的表达式。
   破题关键：

• 正确计算碰撞前两球相对于质心的速度；
• 利用恢复系数确定碰撞后速度；
• 注意动能计算中速度的平方关系。

步骤1：计算质心速度

质心速度 $V_c$ 为总动量除以总质量：
$V_c = \frac{m_1 v_1 + m_2 \cdot 0}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}.$

步骤2：求碰撞前相对于质心的速度

• 球1相对于质心的速度：
  $u_1 = v_1 - V_c = v_1 - \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} = \frac{m_2 v_1}{m_1 + m_2}.$
• 球2相对于质心的速度：
  $u_2 = 0 - V_c = -\frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}.$

步骤3：碰撞后速度变换

在质心系中，碰撞后速度方向反转并乘以恢复系数 $e$：
$u_1' = -e u_1 = -\frac{e m_2 v_1}{m_1 + m_2}, \quad u_2' = -e u_2 = \frac{e m_1 v_1}{m_1 + m_2}.$

步骤4：计算碰撞前的质心动能

质心动能为两球相对于质心的动能之和：
$T = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2.$
代入 $u_1$ 和 $u_2$ 的表达式：
$T = \frac{1}{2} m_1 \left( \frac{m_2 v_1}{m_1 + m_2} \right)^2 + \frac{1}{2} m_2 \left( \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} \right)^2.$
化简得：
$T = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_1 m_2 v_1^2}{m_1 + m_2}.$