2.12 质量为m1的球以速度v1与质量为m2的静止球正碰.求碰撞后两球相对于质心-|||-的速度u`1和u2是多少?碰撞前两球相对于质心的动能是多少?恢复系数e为已知.

步骤 1：确定碰撞前两球相对于质心的速度
在质心参考系中，两球的总动量为零。因此，两球相对于质心的速度可以表示为：
\[ u_1 = v_1 - V_{cm} \]
\[ u_2 = -V_{cm} \]
其中，\( V_{cm} \) 是质心的速度，可以由两球的总动量除以总质量得到：
\[ V_{cm} = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} \]
因此，两球相对于质心的速度为：
\[ u_1 = v_1 - \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} = \frac{m_2 v_1}{m_1 + m_2} \]
\[ u_2 = -\frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} \]

步骤 2：确定碰撞后两球相对于质心的速度
根据恢复系数的定义，碰撞后两球相对于质心的速度可以表示为：
\[ u_1' = -e u_1 = -e \frac{m_2 v_1}{m_1 + m_2} \]
\[ u_2' = -e u_2 = e \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} \]

步骤 3：计算碰撞前两球相对于质心的动能
碰撞前两球相对于质心的动能为：
\[ T = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 \]
代入 \( u_1 \) 和 \( u_2 \) 的表达式，得到：
\[ T = \frac{1}{2} m_1 \left( \frac{m_2 v_1}{m_1 + m_2} \right)^2 + \frac{1}{2} m_2 \left( \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} \right)^2 \]
\[ T = \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2^2 v_1^2}{(m_1 + m_2)^2} + \frac{1}{2} \frac{m_2 m_1^2 v_1^2}{(m_1 + m_2)^2} \]
\[ T = \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2 v_1^2}{m_1 + m_2} \]