题目
1-10 一质点作圆周运动,所经历的路程与时间的关系为 =(t)^3+2(t)^2 (SI单位), t=2s-|||-时,质点的加速度大小为 sqrt (2)mcdot (s)^-2 ,试求:-|||-(1) t=2s 时,质点的切向加速度和法向加速度大小;-|||-(2)圆周的半径R
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算切向加速度
切向加速度 $a_t$ 可以通过路程 $s$ 对时间 $t$ 的二阶导数得到。首先，我们计算路程 $s$ 对时间 $t$ 的一阶导数，即速度 $v$：
$$ v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + 2t^2) = 3t^2 + 4t $$
然后，我们计算速度 $v$ 对时间 $t$ 的一阶导数，即切向加速度 $a_t$：
$$ a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + 4t) = 6t + 4 $$
在 $t=2s$ 时，切向加速度 $a_t$ 为：
$$ a_t = 6 \times 2 + 4 = 12 + 4 = 16 \, m/s^2 $$
步骤 2：计算法向加速度
法向加速度 $a_n$ 可以通过速度 $v$ 的平方除以半径 $R$ 得到。首先，我们计算 $t=2s$ 时的速度 $v$：
$$ v = 3 \times 2^2 + 4 \times 2 = 3 \times 4 + 8 = 12 + 8 = 20 \, m/s $$
已知加速度的大小为 $16\sqrt{2} \, m/s^2$，加速度的大小等于切向加速度和法向加速度的矢量和的模，即：
$$ a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} $$
代入已知的加速度大小和切向加速度，我们得到：
$$ 16\sqrt{2} = \sqrt{16^2 + a_n^2} $$
解这个方程，我们得到：
$$ 16\sqrt{2} = \sqrt{256 + a_n^2} $$
$$ 512 = 256 + a_n^2 $$
$$ a_n^2 = 256 $$
$$ a_n = 16 \, m/s^2 $$
步骤 3：计算圆周的半径
法向加速度 $a_n$ 可以通过速度 $v$ 的平方除以半径 $R$ 得到，即：
$$ a_n = \frac{v^2}{R} $$
代入已知的法向加速度和速度，我们得到：
$$ 16 = \frac{20^2}{R} $$
$$ 16 = \frac{400}{R} $$
$$ R = \frac{400}{16} = 25 \, m $$
切向加速度 $a_t$ 可以通过路程 $s$ 对时间 $t$ 的二阶导数得到。首先，我们计算路程 $s$ 对时间 $t$ 的一阶导数，即速度 $v$：
$$ v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + 2t^2) = 3t^2 + 4t $$
然后，我们计算速度 $v$ 对时间 $t$ 的一阶导数，即切向加速度 $a_t$：
$$ a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + 4t) = 6t + 4 $$
在 $t=2s$ 时，切向加速度 $a_t$ 为：
$$ a_t = 6 \times 2 + 4 = 12 + 4 = 16 \, m/s^2 $$
步骤 2：计算法向加速度
法向加速度 $a_n$ 可以通过速度 $v$ 的平方除以半径 $R$ 得到。首先，我们计算 $t=2s$ 时的速度 $v$：
$$ v = 3 \times 2^2 + 4 \times 2 = 3 \times 4 + 8 = 12 + 8 = 20 \, m/s $$
已知加速度的大小为 $16\sqrt{2} \, m/s^2$，加速度的大小等于切向加速度和法向加速度的矢量和的模，即：
$$ a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} $$
代入已知的加速度大小和切向加速度，我们得到：
$$ 16\sqrt{2} = \sqrt{16^2 + a_n^2} $$
解这个方程，我们得到：
$$ 16\sqrt{2} = \sqrt{256 + a_n^2} $$
$$ 512 = 256 + a_n^2 $$
$$ a_n^2 = 256 $$
$$ a_n = 16 \, m/s^2 $$
步骤 3：计算圆周的半径
法向加速度 $a_n$ 可以通过速度 $v$ 的平方除以半径 $R$ 得到，即：
$$ a_n = \frac{v^2}{R} $$
代入已知的法向加速度和速度，我们得到：
$$ 16 = \frac{20^2}{R} $$
$$ 16 = \frac{400}{R} $$
$$ R = \frac{400}{16} = 25 \, m $$