题目
8.7 假定N个粒子的速率分布曲线如图所示.-|||-(1)由N和v0求a;-|||-(2)求速率在1.5v0到2.0v0之间的粒子数;-|||-(3)求粒子的平均速率.-|||-a-|||-,-|||-vo 2v0 U
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解a
根据题目中给出的速率分布曲线，可以知道速率分布函数f(v)在0到v0区间内为线性函数，且在v0到2v0区间内为常数。由于速率分布函数f(v)的积分在0到2v0区间内等于粒子总数N，可以得到：
$$\int_{0}^{v_{0}}avdv + \int_{v_{0}}^{2v_{0}}av_{0}dv = N$$
解得：
$$a=\frac{2}{3v_{0}}$$
步骤 2：求速率在1.5v0到2.0v0之间的粒子数
根据速率分布函数f(v)在v0到2v0区间内为常数，可以得到速率在1.5v0到2.0v0之间的粒子数为：
$$\int_{1.5v_{0}}^{2v_{0}}av_{0}dv = \frac{1}{3}N$$
步骤 3：求粒子的平均速率
根据速率分布函数f(v)的定义，可以得到粒子的平均速率为：
$$\bar{v} = \frac{\int_{0}^{2v_{0}}vf(v)dv}{\int_{0}^{2v_{0}}f(v)dv} = \frac{\int_{0}^{v_{0}}av^{2}dv + \int_{v_{0}}^{2v_{0}}av_{0}^{2}dv}{N} = \frac{11}{9}v_{0}$$
根据题目中给出的速率分布曲线，可以知道速率分布函数f(v)在0到v0区间内为线性函数，且在v0到2v0区间内为常数。由于速率分布函数f(v)的积分在0到2v0区间内等于粒子总数N，可以得到：
$$\int_{0}^{v_{0}}avdv + \int_{v_{0}}^{2v_{0}}av_{0}dv = N$$
解得：
$$a=\frac{2}{3v_{0}}$$
步骤 2：求速率在1.5v0到2.0v0之间的粒子数
根据速率分布函数f(v)在v0到2v0区间内为常数，可以得到速率在1.5v0到2.0v0之间的粒子数为：
$$\int_{1.5v_{0}}^{2v_{0}}av_{0}dv = \frac{1}{3}N$$
步骤 3：求粒子的平均速率
根据速率分布函数f(v)的定义，可以得到粒子的平均速率为：
$$\bar{v} = \frac{\int_{0}^{2v_{0}}vf(v)dv}{\int_{0}^{2v_{0}}f(v)dv} = \frac{\int_{0}^{v_{0}}av^{2}dv + \int_{v_{0}}^{2v_{0}}av_{0}^{2}dv}{N} = \frac{11}{9}v_{0}$$