题目
如图所示，一均匀带正电的细直棒长a，电荷线密度为，求细棒延长线上P点电场强度大小.。
如图所示，一均匀带正电的细直棒长a，电荷线密度为
，求细棒延长线上P点电场强度大小.。
题目解答
答案
先计算出线元dx产生的电场强度大小，再对整个棒积分，
，
，解得
，所以P点电场强度大小为。
解析
步骤 1：确定线元产生的电场强度
细直棒上任一线元dx产生的电场强度大小为$E=\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {\lambda dx}{{(a+l-x)}^{2}}$，其中$\lambda$为电荷线密度，$a$为棒的长度，$l$为P点到棒的端点的距离，$x$为线元到棒的端点的距离。
步骤 2：对整个棒积分
将线元dx产生的电场强度对整个棒积分，得到P点的电场强度大小$E={\int }_{0}^{a}\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {\lambda dx}{{(a+l-x)}^{2}}$。
步骤 3：计算积分
计算积分$E={\int }_{0}^{a}\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {\lambda dx}{{(a+l-x)}^{2}}$，得到$E=\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {\lambda }{a+l-x}{\int }_{0}^{a}dx=\dfrac {\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}(\dfrac {1}{l}-\dfrac {1}{a+l})$。
步骤 4：化简结果
化简得到P点电场强度大小$E=\dfrac {\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}(\dfrac {1}{l}-\dfrac {1}{a+l})=\dfrac {a\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}l(a+l)}$。
细直棒上任一线元dx产生的电场强度大小为$E=\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {\lambda dx}{{(a+l-x)}^{2}}$，其中$\lambda$为电荷线密度，$a$为棒的长度，$l$为P点到棒的端点的距离，$x$为线元到棒的端点的距离。
步骤 2：对整个棒积分
将线元dx产生的电场强度对整个棒积分，得到P点的电场强度大小$E={\int }_{0}^{a}\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {\lambda dx}{{(a+l-x)}^{2}}$。
步骤 3：计算积分
计算积分$E={\int }_{0}^{a}\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {\lambda dx}{{(a+l-x)}^{2}}$，得到$E=\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {\lambda }{a+l-x}{\int }_{0}^{a}dx=\dfrac {\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}(\dfrac {1}{l}-\dfrac {1}{a+l})$。
步骤 4：化简结果
化简得到P点电场强度大小$E=\dfrac {\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}(\dfrac {1}{l}-\dfrac {1}{a+l})=\dfrac {a\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}l(a+l)}$。