题目
如图所示，在边长为a的正方形四个顶点上分别有相等的同种电荷-e,若使各顶点上的电荷所受电场力为零，在正方形中心O应放置电荷为（ ）A. Q=((2sqrt(2)+1)e)/(4)B. Q=((2sqrt(2)+1)e)/(2)C. Q=((sqrt(2)+1)e)/(4)D. Q=((sqrt(2)+2)e)/(4)
如图所示，在边长为a的正方形四个顶点上分别有相等的同种电荷-e,若使各顶点上的电荷所受电场力为零，在正方形中心O应放置电荷为（ ）- A. Q=$\frac{(2\sqrt{2}+1)e}{4}$
- B. Q=$\frac{(2\sqrt{2}+1)e}{2}$
- C. Q=$\frac{(\sqrt{2}+1)e}{4}$
- D. Q=$\frac{(\sqrt{2}+2)e}{4}$
题目解答
答案
解：设正方形四个顶点为A、B、C、D，对其中一个顶点D分析
设正方形边长为a,则
EA=$\frac{ke}{{a}^{2}}$，方向沿AD方向
EC=$\frac{ke}{{a}^{2}}$，方向沿CD方向
EB=$\frac{ke}{(\sqrt{2}a)^{2}}$，方向沿BD方向
EO=$\frac{kQ}{(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^{2}}$，方向沿DB方向
欲使顶点的电荷所受电场力为零，则合场强为零，则有
EO=EB+$\sqrt{2}$EA
解得：Q=$\frac{(2\sqrt{2}+1)e}{4}$
故A正确，BCD错误；
故选：A。
设正方形边长为a,则
EA=$\frac{ke}{{a}^{2}}$，方向沿AD方向
EC=$\frac{ke}{{a}^{2}}$，方向沿CD方向
EB=$\frac{ke}{(\sqrt{2}a)^{2}}$，方向沿BD方向
EO=$\frac{kQ}{(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^{2}}$，方向沿DB方向
欲使顶点的电荷所受电场力为零，则合场强为零，则有
EO=EB+$\sqrt{2}$EA
解得：Q=$\frac{(2\sqrt{2}+1)e}{4}$
故A正确，BCD错误；
故选：A。
解析
步骤 1：确定各顶点电荷的电场强度
设正方形四个顶点为A、B、C、D，对其中一个顶点D分析。设正方形边长为a，则
- 顶点A对D的电场强度$E_A=\frac{ke}{{a}^{2}}$，方向沿AD方向
- 顶点C对D的电场强度$E_C=\frac{ke}{{a}^{2}}$，方向沿CD方向
- 顶点B对D的电场强度$E_B=\frac{ke}{(\sqrt{2}a)^{2}}$，方向沿BD方向
- 中心O对D的电场强度$E_O=\frac{kQ}{(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^{2}}$，方向沿DB方向
步骤 2：计算中心O处电荷Q的电场强度
欲使顶点的电荷所受电场力为零，则合场强为零，则有
$E_O=E_B+\sqrt{2}E_A$
代入各电场强度的表达式，得到
$\frac{kQ}{(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^{2}}=\frac{ke}{(\sqrt{2}a)^{2}}+\sqrt{2}\frac{ke}{{a}^{2}}$
化简得到
$Q=\frac{(2\sqrt{2}+1)e}{4}$
设正方形四个顶点为A、B、C、D，对其中一个顶点D分析。设正方形边长为a，则
- 顶点A对D的电场强度$E_A=\frac{ke}{{a}^{2}}$，方向沿AD方向
- 顶点C对D的电场强度$E_C=\frac{ke}{{a}^{2}}$，方向沿CD方向
- 顶点B对D的电场强度$E_B=\frac{ke}{(\sqrt{2}a)^{2}}$，方向沿BD方向
- 中心O对D的电场强度$E_O=\frac{kQ}{(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^{2}}$，方向沿DB方向
步骤 2：计算中心O处电荷Q的电场强度
欲使顶点的电荷所受电场力为零，则合场强为零，则有
$E_O=E_B+\sqrt{2}E_A$
代入各电场强度的表达式，得到
$\frac{kQ}{(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^{2}}=\frac{ke}{(\sqrt{2}a)^{2}}+\sqrt{2}\frac{ke}{{a}^{2}}$
化简得到
$Q=\frac{(2\sqrt{2}+1)e}{4}$