题目
34.一根无限长导线弯成如图形状,设各线段都在同一平面内(纸面内),其中第二段是半径为R的四分-|||-之一圆弧,其余为直线。导线中通有电流I,求图中O点处的磁感强度。-|||-2.-|||-3-|||-R-|||-1 4-|||-I O-|||-R
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定各段导线在O点产生的磁感强度
根据题意，导线被分为四段，分别为1、2、3、4。我们需要计算每段导线在O点产生的磁感强度，然后根据叠加原理求出总磁感强度。
步骤 2：计算各段导线在O点产生的磁感强度
- 导线1和4在O点的延长线上，因此它们在O点产生的磁感强度为零，即${B}_{1}=0$和${B}_{4}=0$。
- 导线2是半径为R的四分之一圆弧，根据毕奥-萨伐尔定律，它在O点产生的磁感强度为${B}_{2}=\dfrac {1}{4}|\dfrac {{\mu }_{0}I}{2R}|$，方向垂直于纸面向外。
- 导线3是直线段，根据毕奥-萨伐尔定律，它在O点产生的磁感强度为${B}_{3}=\dfrac {{\mu }_{0}I}{4\pi a}(\cos \theta -\cos {2}^{2})=\dfrac {\sqrt {2}{u}_{0}1}{4\pi R}\sqrt {2}=\dfrac {{u}_{0}1}{2\pi R}$，方向垂直于纸面向外。其中$a=\dfrac {R}{\sqrt {2}}$，$\cos {\theta }_{1}=\cos \dfrac {\pi }{4}=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$，$\cos {\theta }_{2}=\cos \dfrac {3\pi }{4}=-\dfrac {\sqrt {2}}{2}$。
步骤 3：计算总磁感强度
根据叠加原理，O点的总磁感强度为：$\overrightarrow {B}=\overrightarrow {{B}_{1}}+\overrightarrow {{B}_{2}}+\overrightarrow {{B}_{3}}+\overrightarrow {{B}_{4}}$。将各段导线在O点产生的磁感强度代入，得到：$B=\dfrac {{u}_{0}I}{SR}+\dfrac {{u}_{3}I}{2\pi R}=\dfrac {{u}_{0}I}{2R}(\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{\pi })$。
根据题意，导线被分为四段，分别为1、2、3、4。我们需要计算每段导线在O点产生的磁感强度，然后根据叠加原理求出总磁感强度。
步骤 2：计算各段导线在O点产生的磁感强度
- 导线1和4在O点的延长线上，因此它们在O点产生的磁感强度为零，即${B}_{1}=0$和${B}_{4}=0$。
- 导线2是半径为R的四分之一圆弧，根据毕奥-萨伐尔定律，它在O点产生的磁感强度为${B}_{2}=\dfrac {1}{4}|\dfrac {{\mu }_{0}I}{2R}|$，方向垂直于纸面向外。
- 导线3是直线段，根据毕奥-萨伐尔定律，它在O点产生的磁感强度为${B}_{3}=\dfrac {{\mu }_{0}I}{4\pi a}(\cos \theta -\cos {2}^{2})=\dfrac {\sqrt {2}{u}_{0}1}{4\pi R}\sqrt {2}=\dfrac {{u}_{0}1}{2\pi R}$，方向垂直于纸面向外。其中$a=\dfrac {R}{\sqrt {2}}$，$\cos {\theta }_{1}=\cos \dfrac {\pi }{4}=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$，$\cos {\theta }_{2}=\cos \dfrac {3\pi }{4}=-\dfrac {\sqrt {2}}{2}$。
步骤 3：计算总磁感强度
根据叠加原理，O点的总磁感强度为：$\overrightarrow {B}=\overrightarrow {{B}_{1}}+\overrightarrow {{B}_{2}}+\overrightarrow {{B}_{3}}+\overrightarrow {{B}_{4}}$。将各段导线在O点产生的磁感强度代入，得到：$B=\dfrac {{u}_{0}I}{SR}+\dfrac {{u}_{3}I}{2\pi R}=\dfrac {{u}_{0}I}{2R}(\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{\pi })$。