题目
一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为rho =kpi (rleqslant R), 其中k为一正常数，带电球体外无电荷分布，求： ( 1 ) 球内外的电场强度分布 ; ( 2 ) 假设无穷远处电势为零，计算球面处的电势。
一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为
, 其中k为一正常数，带电球体外无电荷分布，求：
( 1 ) 球内外的电场强度分布 ;
( 2 ) 假设无穷远处电势为零，计算球面处的电势。
题目解答
答案
（1）球内时，
根据高斯通量定理，得
球外时，
（2）
故答案为（1）球内：
球外：
（2）
解析
步骤 1：计算球内电荷量
球内电荷量可以通过积分电荷体密度分布得到。球内电荷量为：
$$
q_{内} = \int_{0}^{r} \rho(r) dV = \int_{0}^{r} k\pi r^2 4\pi r^2 dr = \pi k \int_{0}^{r} r^4 dr = \pi k \frac{r^5}{5}
$$
步骤 2：计算球内电场强度
根据高斯定理，球内电场强度为：
$$
E_{内} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_{内}}{r^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\pi k \frac{r^5}{5}}{r^2} = \frac{k r^3}{20 \varepsilon_0}
$$
步骤 3：计算球外电荷量
球外电荷量为：
$$
q_{外} = \int_{0}^{R} \rho(r) dV = \int_{0}^{R} k\pi r^2 4\pi r^2 dr = \pi k \int_{0}^{R} r^4 dr = \pi k \frac{R^5}{5}
$$
步骤 4：计算球外电场强度
根据高斯定理，球外电场强度为：
$$
E_{外} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_{外}}{r^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\pi k \frac{R^5}{5}}{r^2} = \frac{k R^5}{20 \varepsilon_0 r^2}
$$
步骤 5：计算球面处的电势
球面处的电势为：
$$
V_{R} = \frac{q_{外}}{4\pi \varepsilon_0 R} = \frac{\pi k \frac{R^5}{5}}{4\pi \varepsilon_0 R} = \frac{k R^4}{20 \varepsilon_0}
$$
球内电荷量可以通过积分电荷体密度分布得到。球内电荷量为：
$$
q_{内} = \int_{0}^{r} \rho(r) dV = \int_{0}^{r} k\pi r^2 4\pi r^2 dr = \pi k \int_{0}^{r} r^4 dr = \pi k \frac{r^5}{5}
$$
步骤 2：计算球内电场强度
根据高斯定理，球内电场强度为：
$$
E_{内} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_{内}}{r^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\pi k \frac{r^5}{5}}{r^2} = \frac{k r^3}{20 \varepsilon_0}
$$
步骤 3：计算球外电荷量
球外电荷量为：
$$
q_{外} = \int_{0}^{R} \rho(r) dV = \int_{0}^{R} k\pi r^2 4\pi r^2 dr = \pi k \int_{0}^{R} r^4 dr = \pi k \frac{R^5}{5}
$$
步骤 4：计算球外电场强度
根据高斯定理，球外电场强度为：
$$
E_{外} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_{外}}{r^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\pi k \frac{R^5}{5}}{r^2} = \frac{k R^5}{20 \varepsilon_0 r^2}
$$
步骤 5：计算球面处的电势
球面处的电势为：
$$
V_{R} = \frac{q_{外}}{4\pi \varepsilon_0 R} = \frac{\pi k \frac{R^5}{5}}{4\pi \varepsilon_0 R} = \frac{k R^4}{20 \varepsilon_0}
$$