题目

在 25^circmathrm(C) 和 2mathrm(MPa) 条件下，由组元 1 和组元 2 组成的二元液体混合物中，组元 1 的逸度 hat(f)_1 由下式给出：[hat(f)_1 = 5x_1 - 8x_1^2 + 4x_1^3]式中 x_1 是组元 1 的摩尔分数，hat(f)_1 的单位为 mathrm(MPa)。在上述的 T 和 p 下，试计算：（1）纯组元 1 的逸度 f_1。（2）纯组元 1 的逸度系数。（3）组元 1 的亨利常数 k_1。（4）作为 x_1 函数的活度系数 gamma_1 表达式（组元 1 以 Lewis-Randall 规则为标准态）。（5）作为 x_1 函数的不对称活度系数 gamma_1^* 表达式（组元 1 以 Henry 定律为标准态）

在 $25^{\circ}\mathrm{C}$ 和 $2\mathrm{MPa}$ 条件下，由组元 1 和组元 2 组成的二元液体混合物中，组元 1 的逸度 $\hat{f}_1$ 由下式给出：
$
\hat{f}_1 = 5x_1 - 8x_1^2 + 4x_1^3
$
式中 $x_1$ 是组元 1 的摩尔分数，$\hat{f}_1$ 的单位为 $\mathrm{MPa}$。在上述的 $T$ 和 $p$ 下，试计算：（1）纯组元 1 的逸度 $f_1$。（2）纯组元 1 的逸度系数。（3）组元 1 的亨利常数 $k_1$。（4）作为 $x_1$ 函数的活度系数 $\gamma_1$ 表达式（组元 1 以 Lewis-Randall 规则为标准态）。（5）作为 $x_1$ 函数的不对称活度系数 $\gamma_1^{*}$ 表达式（组元 1 以 Henry 定律为标准态）

题目解答

答案

1. 根据 $\hat{f}_1 = 5x_1 - 8x_1^2 + 4x_1^3$，当 $x_1 = 1$ 时，$f_1 = 1 \, \text{MPa}$。 2. 逸度系数 $\phi_1 = \frac{f_1}{P} = \frac{1}{2} = 0.5$。 3. 亨利常数 $k_1 = \lim_{x_1 \to 0} \frac{\hat{f}_1}{x_1} = 5 \, \text{MPa}$。 4. 活度系数 $\gamma_1 = \frac{\hat{f}_1}{x_1 f_1} = 5 - 8x_1 + 4x_1^2$。 5. 不对称活度系数 $\gamma_1^* = \frac{\hat{f}_1}{k_1 x_1} = 1 - 1.6x_1 + 0.8x_1^2$。 答案： (1) $f_1 = 1 \, \text{MPa}$ (2) $\phi_1 = 0.5$ (3) $k_1 = 5 \, \text{MPa}$ (4) $\gamma_1 = 5 - 8x_1 + 4x_1^2$ (5) $\gamma_1^* = 1 - 1.6x_1 + 0.8x_1^2$

解析

本题主要考查了二元液体混合物中纯组元逸度、逸度系数、亨利常数以及不同标准态下活度系数的计算，解题关键在于理解各物理量的定义和相关公式，并结合题目所给的组元 1 逸度表达式进行计算。

  1. 计算纯组元 1 的逸度 $f_1$
    • 纯组元 1 时，其摩尔分数 $x_1 = 1$。
    • 已知组元 1 的逸度表达式为 $\hat{f}_1 = 5x_1 - 8x_1^2 + 4x_1^3$，将 $x_1 = 1$ 代入该式可得：
      $\begin{align*}f_1&=5\times1 - 8\times1^2 + 4\times1^3\\&=5 - 8 + 4\\&=1\ \mathrm{MPa}\end{align*}$
  2. 计算纯组元 1 的逸度系数 $\phi_1$
    • 逸度系数的定义式为 $\phi_1=\frac{f_1}{p}$，其中 $p = 2\ \mathrm{MPa}$ 为系统压力，$f_1 = 1\ \mathrm{MPa}$ 为纯组元 1 的逸度。
    • 将 $f_1$ 和 $p$ 的值代入公式可得：
      $\phi_1=\frac{1}{2}=0.5$
  3. 计算组元 1 的亨利常数 $k_1$
    • 亨利常数的定义为 $k_1=\lim_{x_1 \to 0} \frac{\hat{f}_1}{x_1}$。
    • 已知 $\hat{f}_1 = 5x_1 - 8x_1^2 + 4x_1^3$，则 $\frac{\hat{f}_1}{x_1}=\frac{5x_1 - 8x_1^2 + 4x_1^3}{x_1}=5 - 8x_1 + 4x_1^2$。
    • 当 $x_1 \to 0$ 时，$\lim_{x_1 \to 0} (5 - 8x_1 + 4x_1^2)=5\ \mathrm{MPa}$，所以 $k_1 = 5\ \mathrm{MPa}$。
  4. 计算作为 $x_1$ 函数的活度系数 $\gamma_1$ 表达式（组元 1 以 Lewis - Randall 规则为标准态）
    • 以 Lewis - Randall 规则为标准态时，活度系数的定义式为 $\gamma_1 = \frac{\hat{f}_1}{x_1 f_1}$。
    • 已知 $\hat{f}_1 = 5x_1 - 8x_1^2 + 4x_1^3$，$f_1 = 1\ \mathrm{MPa}$，将其代入公式可得：
      $\begin{align*}\gamma_1&=\frac{5x_1 - 8x_1^2 + 4x_1^3}{x_1\times1}\\&=5 - 8x_1 + 4x_1^2\end{align*}$
  5. 计算作为 $x_1$ 函数的不对称活度系数 $\gamma_1^*$ 表达式（组元 1 以 Henry 定律为标准态）
    • 以 Henry 定律为标准态时，不对称活度系数的定义式为 $\gamma_1^* = \frac{\hat{f}_1}{k_1 x_1}$。
    • 已知 $\hat{f}_1 = 5x_1 - 8x_1^2 + 4x_1^3$，$k_1 = 5\ \mathrm{MPa}$，将其代入公式可得：
      $\begin{align*}\gamma_1^*&=\frac{5x_1 - 8x_1^2 + 4x_1^3}{5x_1}\\&=1 - 1.6x_1 + 0.8x_1^2\end{align*}$