题目

在半径为的圆柱形空间中存在着均匀磁场，的方向与柱的轴线平行。如图所示，有一长为l的金属棒放在磁场中，设随时间的变化率为常量。试证：棒上感应电动势的大小为

在半径为 $R$ 的圆柱形空间中存在着均匀磁场， $B$ 的方向与柱的轴线平行。如图所示，有一长为l的金属棒放在磁场中，设 $B$ 随时间的变化率 $\frac{dB}{dt}$ 为常量。试证：棒上感应电动势的大小为 $\varepsilon=\frac{dB}{dt}\frac{l}{2}\sqrt{R^2-(\frac{l}{2})^2}$

题目解答

答案

做输助线 $OP$ ， $OQ$ ，假想 $OP$ ， $OQ$ 构成一闭合导体回路，其面积为 $S=\frac{l}{2}l\sqrt{R^2-(\frac{l}{2})^2}$ ，如下图所示.

由于 $OP$ ， $OQ$ 沿半径方向，与通过该处的感生电场强度 $\vec{E_{k}}$ 处处垂直，故 $\vec{E_k}\cdot d\vec{l}=0$ ，所以 $OP$ ， $OQ$ 两段均无感生电动势.故三角形 $OPQ$ 回路上的电动势就是就是导体棒 $PQ$ 上的感生电动势.由法拉第电磁感应定律可求出闭合回路中的感应电动势

$\varepsilon_{PQ}=\int_l^{ }\vec{E_k}\cdot d\vec{l}=\int_l^{ }E_k\cos\theta dx$

$=\int_0^l\frac{r}{2}\frac{dB}{dt}\frac{\sqrt{R^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}}{r}dx$

$=\frac{dB}{dt}\frac{l}{2}\sqrt{R^2-(\frac{l}{2})^2}$

解析

步骤 1：确定闭合导体回路
在半径为R的圆柱形空间中，存在均匀磁场，方向与柱的轴线平行。金属棒长为l，放置在磁场中。为了计算金属棒上的感应电动势，我们假想一个闭合导体回路，该回路由金属棒和圆柱形空间的半径构成。这个闭合回路的面积为$S=\dfrac {1}{2}l\sqrt {{R}^{2}-{(\dfrac {l}{2})}^{2}}$。

步骤 2：应用法拉第电磁感应定律
根据法拉第电磁感应定律，闭合导体回路中的感应电动势等于穿过该回路的磁通量的变化率。由于磁场随时间的变化率$\dfrac {dB}{dt}$为常量，因此感应电动势的大小为$E=\dfrac {dB}{dt}S$。

步骤 3：计算感应电动势
将闭合导体回路的面积$S=\dfrac {1}{2}l\sqrt {{R}^{2}-{(\dfrac {l}{2})}^{2}}$代入感应电动势的公式中，得到$E=\dfrac {dB}{dt}\dfrac {l}{2}\sqrt {{R}^{2}-{(\dfrac {l}{2})}^{2}}$。