在半径为的圆柱形空间中存在着均匀磁场，的方向与柱的轴线平行。如图所示，有一长为l的金属棒放在磁场中，设随时间的变化率为常量。试证：棒上感应电动势的大小为

考查要点：本题主要考查法拉第电磁感应定律的应用，特别是非闭合导体棒在均匀变化磁场中的感应电动势计算。

解题核心思路：

1. 构造假想闭合回路：通过添加辅助线OP，将金属棒视为闭合回路的一部分，利用法拉第电磁感应定律计算总电动势。
2. 分析感生电场分布：在均匀变化的磁场中，感生电场为涡旋场，其大小与到轴线的距离成正比。
3. 几何关系应用：结合圆柱对称性和弦长公式，确定金属棒所在位置的几何参数，推导感应电动势的表达式。

破题关键点：

• 辅助线的选择：OP段的电动势为零，简化计算。
• 面积计算：三角形回路的面积与金属棒长度、圆柱半径的关系。
• 电场方向与路径的垂直性：确保积分过程中仅金属棒部分贡献电动势。

构造闭合回路与面积计算

1. 添加辅助线OP：假想从金属棒的一端O沿圆柱半径方向画辅助线OP，构成闭合三角形回路OPQ。
2. 计算回路面积：
   金属棒长度为$l$，圆心到棒的垂直距离为$h = \sqrt{R^2 - \left(\dfrac{l}{2}\right)^2}$，回路面积为
   $S = \dfrac{1}{2} l h = \dfrac{1}{2} l \sqrt{R^2 - \left(\dfrac{l}{2}\right)^2}.$

感生电场的分布与积分

1. 电场方向分析：感生电场$\overrightarrow{E}$为涡旋场，方向与磁场变化方向相关，大小为
   $E(r) = \dfrac{r}{2} \dfrac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t},$
   其中$r$为到轴线的距离。
2. 辅助线OP的贡献：OP段沿半径方向，$\overrightarrow{E}$与路径方向垂直，积分$\int \overrightarrow{E} \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l} = 0$。
3. 金属棒上的电动势：仅需计算金属棒PQ段的积分，电场方向与棒垂直，电动势为
   $\mathcal{E} = \int_{PQ} \overrightarrow{E} \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l} = E \cdot l.$

法拉第电磁感应定律应用

1. 磁通量变化率：闭合回路的磁通量为$\Phi = B \cdot S$，变化率为
   $\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t} \cdot S.$
2. 感应电动势：根据法拉第定律，
   $\mathcal{E} = -\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = -\dfrac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t} \cdot \dfrac{1}{2} l \sqrt{R^2 - \left(\dfrac{l}{2}\right)^2}.$
   取绝对值得最终结果。