试推导下列函数的不确定度传递公式:(1)E=dfrac (8DLg)(pi {d)^21} dfrac (8DLg)(pi {d)^21} (g为常量) ;
试推导下列函数的不确定度传递公式:(1)E=
(g为常量) ;
题目解答
答案
首先，我们需要知道不确定度的传递公式是什么。
不确定度的传递公式是：
ΔE = ((∂E/∂x1)Δx1)^2 + ((∂E/∂x2)Δx2)^2 + ... + ((∂E/∂xn)Δxn)^2
其中，E是我们要计算的函数，x1, x2, ..., xn是函数中的各个变量，Δx1, Δx2, ..., Δxn是各个变量的不确定度。
然后，我们需要对函数E进行偏微分，求出∂E/∂x1, ∂E/∂x2, ..., ∂E/∂xn。
对于函数E = 8 DLg / (πd^2 Im / △n)，我们可以将其拆分为两个部分：分子和分母。
对于分子部分，我们需要对D, L, g进行偏微分；对于分母部分，我们需要对d, I, m, △n进行偏微分。
我们先来对分子部分进行偏微分：
∂(DLg)/∂D = Lg
∂(DLg)/∂L = Dg
∂(DLg)/∂g = DL
然后，我们对分母部分进行偏微分：
∂(πd^2 Im / △n)/∂d = 2πdIm / △n
∂(πd^2 Im / △n)/∂I = πd^2 m / △n
∂(πd^2 Im / △n)/∂m = πd^2 I / △n
∂(πd^2 Im / △n)/∂△n = -πd^2 Im / (△n)^2
最后，我们将分子和分母的偏微分结果代入不确定度的传递公式中，得到：
ΔE = ((Lg)ΔD)^2 + ((Dg)ΔL)^2 + ((DL)Δg)^2 + ((2πdIm / △n)Δd)^2 + ((πd^2 m / △n)ΔI)^2 + ((πd^2 I / △n)Δm)^2 + ((-πd^2 Im / (△n)^2)Δ△n)^2
这就是函数E的不确定度传递公式。
解析
考查要点：本题要求推导函数 $E = \dfrac{8DLg}{\pi d^2 I m / \Delta n}$ 的不确定度传递公式，核心思路是利用误差传递的全微分法，通过偏导数计算各变量对 $E$ 的不确定度贡献。
关键点：
- 确定变量：函数中的变量为 $D, L, d, I, m, \Delta n$，其中 $g$ 是常量，无需考虑其不确定度。
- 偏导数计算：对每个变量求偏导数，体现其对 $E$ 的敏感度。
- 平方和公式：将各偏导数与对应变量的不确定度平方后相加，得到总不确定度 $\Delta E$。
步骤1：写出不确定度传递公式
不确定度传递公式为：
$\Delta E = \sqrt{\left( \frac{\partial E}{\partial D} \Delta D \right)^2 + \left( \frac{\partial E}{\partial L} \Delta L \right)^2 + \cdots + \left( \frac{\partial E}{\partial \Delta n} \Delta (\Delta n) \right)^2}$
步骤2：计算各变量的偏导数
将函数改写为：
$E = \frac{8g}{\pi} \cdot \frac{D L \Delta n}{d^2 I m}$
对 $D$ 求偏导
$\frac{\partial E}{\partial D} = \frac{8g}{\pi} \cdot \frac{L \Delta n}{d^2 I m} = \frac{E}{D}$
对 $L$ 求偏导
$\frac{\partial E}{\partial L} = \frac{8g}{\pi} \cdot \frac{D \Delta n}{d^2 I m} = \frac{E}{L}$
对 $d$ 求偏导
$\frac{\partial E}{\partial d} = \frac{8g}{\pi} \cdot \frac{D L \Delta n}{d^2 I m} \cdot \left( -\frac{2}{d} \right) = -\frac{2E}{d}$
对 $I$ 求偏导
$\frac{\partial E}{\partial I} = \frac{8g}{\pi} \cdot \frac{D L \Delta n}{d^2 m} \cdot \left( -\frac{1}{I^2} \right) = -\frac{E}{I}$
对 $m$ 求偏导
$\frac{\partial E}{\partial m} = \frac{8g}{\pi} \cdot \frac{D L \Delta n}{d^2 I} \cdot \left( -\frac{1}{m^2} \right) = -\frac{E}{m}$
对 $\Delta n$ 求偏导
$\frac{\partial E}{\partial (\Delta n)} = \frac{8g}{\pi} \cdot \frac{D L}{d^2 I m} = \frac{E}{\Delta n}$
步骤3：代入不确定度传递公式
将各偏导数代入公式，得：
$\Delta E = E \sqrt{\left( \frac{\Delta D}{D} \right)^2 + \left( \frac{\Delta L}{L} \right)^2 + \left( \frac{2 \Delta d}{d} \right)^2 + \left( \frac{\Delta I}{I} \right)^2 + \left( \frac{\Delta m}{m} \right)^2 + \left( \frac{\Delta (\Delta n)}{\Delta n} \right)^2}$