题目
设一平板厚为δ,其两侧表面分别维持在温度t1及t2,在此温度范围内平板的局部导热系数可以用直线关系式λ=λ(1+bt)来表示,试导出计算平板中某处当地热流密度的表达式,并对b>0、b=0及b<0的三种情况画出平板中温度分布的示意曲线。(10分)
设一平板厚为δ,其两侧表面分别维持在温度t1及t2,在此温度范围内平板的局部导热系数可以用直线关系式λ=λ(1+bt)来表示,试导出计算平板中某处当地热流密度的表达式,并对b>0、b=0及b<0的三种情况画出平板中温度分布的示意曲线。(10分)
题目解答
答案
解:应用傅里叶定律:
——————2分
分离变量:
对x作0到δ的积分:
即:
————————6分
由于q与x无关,故由
可知t沿x的变化型线与b值的关系如图所示。——————2分
b>0
b<0
解析
步骤 1：应用傅里叶定律
根据傅里叶定律，热流密度q与温度梯度成正比，且方向相反。对于平板，热流密度q可以表示为：
$$ q = -\lambda \frac{dt}{dx} $$
其中，λ是导热系数，t是温度，x是平板的厚度方向坐标。根据题目条件，导热系数λ可以用直线关系式表示为：
$$ \lambda = \lambda_0 (1 + bt) $$
其中，λ_0是温度为0时的导热系数，b是温度系数。将λ代入傅里叶定律，得到：
$$ q = -\lambda_0 (1 + bt) \frac{dt}{dx} $$
步骤 2：分离变量
将上式分离变量，得到：
$$ q dx = -\lambda_0 (1 + bt) dt $$
步骤 3：积分
对x作0到δ的积分，得到：
$$ \int_0^\delta q dx = -\lambda_0 \int_{t_1}^{t_2} (1 + bt) dt $$
步骤 4：计算积分
计算积分，得到：
$$ q \delta = -\lambda_0 \left[ (t_2 - t_1) + \frac{1}{2} b (t_2^2 - t_1^2) \right] $$
步骤 5：求解q
将上式整理，得到：
$$ q = -\frac{\lambda_0}{\delta} \left[ (t_2 - t_1) + \frac{1}{2} b (t_2^2 - t_1^2) \right] $$
步骤 6：讨论b的三种情况
当b>0时，温度分布曲线为凹曲线；当b=0时，温度分布曲线为直线；当b<0时，温度分布曲线为凸曲线。
根据傅里叶定律，热流密度q与温度梯度成正比，且方向相反。对于平板，热流密度q可以表示为：
$$ q = -\lambda \frac{dt}{dx} $$
其中，λ是导热系数，t是温度，x是平板的厚度方向坐标。根据题目条件，导热系数λ可以用直线关系式表示为：
$$ \lambda = \lambda_0 (1 + bt) $$
其中，λ_0是温度为0时的导热系数，b是温度系数。将λ代入傅里叶定律，得到：
$$ q = -\lambda_0 (1 + bt) \frac{dt}{dx} $$
步骤 2：分离变量
将上式分离变量，得到：
$$ q dx = -\lambda_0 (1 + bt) dt $$
步骤 3：积分
对x作0到δ的积分，得到：
$$ \int_0^\delta q dx = -\lambda_0 \int_{t_1}^{t_2} (1 + bt) dt $$
步骤 4：计算积分
计算积分，得到：
$$ q \delta = -\lambda_0 \left[ (t_2 - t_1) + \frac{1}{2} b (t_2^2 - t_1^2) \right] $$
步骤 5：求解q
将上式整理，得到：
$$ q = -\frac{\lambda_0}{\delta} \left[ (t_2 - t_1) + \frac{1}{2} b (t_2^2 - t_1^2) \right] $$
步骤 6：讨论b的三种情况
当b>0时，温度分布曲线为凹曲线；当b=0时，温度分布曲线为直线；当b<0时，温度分布曲线为凸曲线。