题目
【题干】如图，一个质量为m，长为l 的均匀细杆，可绕过顶端轴旋转，开始时杆自由悬挂，一个质量为m，速度为v的子弹，正好击中杆的下端，击中后，子弹以v/2速度反弹。求:(1)杆被击打后获得的角速度;(2)杆上扬的最大角的余弦值。
【题干】
如图，一个质量为m，长为l 的均匀细杆，可绕过顶端轴旋转，开始时杆自由悬挂，一个质量为m，速度为v的子弹，正好击中杆的下端，击中后，子弹以v/2速度反弹。求:(1)杆被击打后获得的角速度;(2)杆上扬的最大角
的余弦值。
题目解答
答案
【答案】
【解答】
(1)由题可知，系统满足角动量守恒:
，
，联立解得
；
(2) 根据机械能守恒有：
,代入数据解得
.
解析
步骤 1：角动量守恒
子弹击中杆的下端，系统满足角动量守恒。子弹的初始角动量为$mv\cdot l$，子弹击中后以$\frac{v}{2}$反弹，其角动量为$m\cdot \frac{v}{2}\cdot l$。杆的角动量为$J\omega$，其中$J$是杆的转动惯量，$\omega$是杆的角速度。根据角动量守恒定律，有$mv\cdot l=m\cdot \frac{v}{2}\cdot l+J\omega$。
步骤 2：计算杆的转动惯量
杆的转动惯量$J$可以通过公式$J=\frac{1}{3}ml^2$计算，其中$m$是杆的质量，$l$是杆的长度。
步骤 3：求解杆的角速度
将$J=\frac{1}{3}ml^2$代入角动量守恒方程，得到$mv\cdot l=m\cdot \frac{v}{2}\cdot l+\frac{1}{3}ml^2\omega$。解这个方程，得到$\omega=\frac{v}{2l}$。
步骤 4：机械能守恒
杆上扬过程中，机械能守恒。子弹击中杆后，杆的动能转化为杆的重力势能。根据机械能守恒定律，有$\frac{1}{2}J\omega^2=mgl(1-\cos\theta)$，其中$\theta$是杆上扬的最大角度。
步骤 5：求解杆上扬的最大角的余弦值
将$J=\frac{1}{3}ml^2$和$\omega=\frac{v}{2l}$代入机械能守恒方程，得到$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}ml^2\cdot \left(\frac{v}{2l}\right)^2=mgl(1-\cos\theta)$。解这个方程，得到$\cos\theta=1-\frac{v^2}{4gl}$。
子弹击中杆的下端，系统满足角动量守恒。子弹的初始角动量为$mv\cdot l$，子弹击中后以$\frac{v}{2}$反弹，其角动量为$m\cdot \frac{v}{2}\cdot l$。杆的角动量为$J\omega$，其中$J$是杆的转动惯量，$\omega$是杆的角速度。根据角动量守恒定律，有$mv\cdot l=m\cdot \frac{v}{2}\cdot l+J\omega$。
步骤 2：计算杆的转动惯量
杆的转动惯量$J$可以通过公式$J=\frac{1}{3}ml^2$计算，其中$m$是杆的质量，$l$是杆的长度。
步骤 3：求解杆的角速度
将$J=\frac{1}{3}ml^2$代入角动量守恒方程，得到$mv\cdot l=m\cdot \frac{v}{2}\cdot l+\frac{1}{3}ml^2\omega$。解这个方程，得到$\omega=\frac{v}{2l}$。
步骤 4：机械能守恒
杆上扬过程中，机械能守恒。子弹击中杆后，杆的动能转化为杆的重力势能。根据机械能守恒定律，有$\frac{1}{2}J\omega^2=mgl(1-\cos\theta)$，其中$\theta$是杆上扬的最大角度。
步骤 5：求解杆上扬的最大角的余弦值
将$J=\frac{1}{3}ml^2$和$\omega=\frac{v}{2l}$代入机械能守恒方程，得到$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}ml^2\cdot \left(\frac{v}{2l}\right)^2=mgl(1-\cos\theta)$。解这个方程，得到$\cos\theta=1-\frac{v^2}{4gl}$。