题目
一质点沿x轴作简谐振动,振动范围的中心点为x轴-|||-的原点,已知周期为T,振幅为A.-|||-(1)若 t=0 时质点过 x=0 处且朝x轴正方向运-|||-动,则振动方程为 x= __ .-|||-(2)若 t=0 时质点过 =dfrac (A)(2) 处且朝x轴负方向运-|||-动,则振动方程为 x= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定简谐振动方程的一般形式
简谐振动方程的一般形式为 $x=A\cos(\omega t + \phi)$，其中 $A$ 是振幅，$\omega$ 是角频率，$\phi$ 是初相位。角频率 $\omega$ 与周期 $T$ 的关系为 $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$。
步骤 2：确定初相位 $\phi$
(1) 当 $t=0$ 时，质点过 $x=0$ 处且朝x轴正方向运动。这意味着在 $t=0$ 时，$x=0$，且速度为正。根据简谐振动方程 $x=A\cos(\omega t + \phi)$，当 $t=0$ 时，$x=A\cos(\phi)$。要使 $x=0$，则 $\cos(\phi)=0$，因此 $\phi=\dfrac{\pi}{2}$ 或 $\phi=-\dfrac{\pi}{2}$。由于质点朝x轴正方向运动，速度为正，因此 $\phi=-\dfrac{\pi}{2}$。
(2) 当 $t=0$ 时，质点过 $x=\dfrac{A}{2}$ 处且朝x轴负方向运动。这意味着在 $t=0$ 时，$x=\dfrac{A}{2}$，且速度为负。根据简谐振动方程 $x=A\cos(\omega t + \phi)$，当 $t=0$ 时，$x=A\cos(\phi)$。要使 $x=\dfrac{A}{2}$，则 $\cos(\phi)=\dfrac{1}{2}$，因此 $\phi=\dfrac{\pi}{3}$ 或 $\phi=-\dfrac{\pi}{3}$。由于质点朝x轴负方向运动，速度为负，因此 $\phi=\dfrac{\pi}{3}$。
步骤 3：写出振动方程
(1) 将 $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ 和 $\phi=-\dfrac{\pi}{2}$ 代入简谐振动方程，得到 $x=A\cos(\dfrac{2\pi}{T}t-\dfrac{\pi}{2})$。
(2) 将 $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ 和 $\phi=\dfrac{\pi}{3}$ 代入简谐振动方程，得到 $x=A\cos(\dfrac{2\pi}{T}t+\dfrac{\pi}{3})$。
简谐振动方程的一般形式为 $x=A\cos(\omega t + \phi)$，其中 $A$ 是振幅，$\omega$ 是角频率，$\phi$ 是初相位。角频率 $\omega$ 与周期 $T$ 的关系为 $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$。
步骤 2：确定初相位 $\phi$
(1) 当 $t=0$ 时，质点过 $x=0$ 处且朝x轴正方向运动。这意味着在 $t=0$ 时，$x=0$，且速度为正。根据简谐振动方程 $x=A\cos(\omega t + \phi)$，当 $t=0$ 时，$x=A\cos(\phi)$。要使 $x=0$，则 $\cos(\phi)=0$，因此 $\phi=\dfrac{\pi}{2}$ 或 $\phi=-\dfrac{\pi}{2}$。由于质点朝x轴正方向运动，速度为正，因此 $\phi=-\dfrac{\pi}{2}$。
(2) 当 $t=0$ 时，质点过 $x=\dfrac{A}{2}$ 处且朝x轴负方向运动。这意味着在 $t=0$ 时，$x=\dfrac{A}{2}$，且速度为负。根据简谐振动方程 $x=A\cos(\omega t + \phi)$，当 $t=0$ 时，$x=A\cos(\phi)$。要使 $x=\dfrac{A}{2}$，则 $\cos(\phi)=\dfrac{1}{2}$，因此 $\phi=\dfrac{\pi}{3}$ 或 $\phi=-\dfrac{\pi}{3}$。由于质点朝x轴负方向运动，速度为负，因此 $\phi=\dfrac{\pi}{3}$。
步骤 3：写出振动方程
(1) 将 $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ 和 $\phi=-\dfrac{\pi}{2}$ 代入简谐振动方程，得到 $x=A\cos(\dfrac{2\pi}{T}t-\dfrac{\pi}{2})$。
(2) 将 $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ 和 $\phi=\dfrac{\pi}{3}$ 代入简谐振动方程，得到 $x=A\cos(\dfrac{2\pi}{T}t+\dfrac{\pi}{3})$。