题目
.-0 如习题 7-8 图所示,均匀带电的直线AB,长为l,电荷线密度为λ.求:(1)在AB-|||-延长线上与B端相距d的点P处的电场强度;(2)在AB的垂直平分线上与直线中点相距d-|||-处的Q点的电场强度.-|||-P-|||--q +2q -q-|||-r-|||-习题 7-7 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电场强度的计算公式
电场强度的计算公式为 $E = \dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {q}{r^{2}}$，其中 $q$ 是电荷量，$r$ 是电荷到点的距离，${\varepsilon }_{0}$ 是真空介电常数。
步骤 2：计算点P处的电场强度
点P处的电场强度由AB上各点的电荷贡献，由于AB是均匀带电的直线，可以将AB分成无数个微小电荷元，每个电荷元的电荷量为 $\lambda dl$，其中 $dl$ 是电荷元的长度。点P到电荷元的距离为 $r = d + l - x$，其中 $x$ 是电荷元到B端的距离。因此，点P处的电场强度为：
$$
E_{P} = \int_{0}^{l} \dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {\lambda dl}{(d + l - x)^{2}} = \dfrac {\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}\int_{0}^{l} \dfrac {dl}{(d + l - x)^{2}} = \dfrac {\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}[ \dfrac {1}{d}-\dfrac {1}{d+l}]
$$
步骤 3：计算点Q处的电场强度
点Q处的电场强度同样由AB上各点的电荷贡献，点Q到电荷元的距离为 $r = \sqrt {d^{2} + (\dfrac {l}{2} - x)^{2}}$，其中 $x$ 是电荷元到AB中点的距离。因此，点Q处的电场强度为：
$$
E_{Q} = \int_{0}^{l} \dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {\lambda dl}{\sqrt {d^{2} + (\dfrac {l}{2} - x)^{2}}^{2}} = \dfrac {\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}d}\sqrt {\dfrac {1}{{d}^{2}+{(\dfrac {1}{2})}^{2}}}
$$
电场强度的计算公式为 $E = \dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {q}{r^{2}}$，其中 $q$ 是电荷量，$r$ 是电荷到点的距离，${\varepsilon }_{0}$ 是真空介电常数。
步骤 2：计算点P处的电场强度
点P处的电场强度由AB上各点的电荷贡献，由于AB是均匀带电的直线，可以将AB分成无数个微小电荷元，每个电荷元的电荷量为 $\lambda dl$，其中 $dl$ 是电荷元的长度。点P到电荷元的距离为 $r = d + l - x$，其中 $x$ 是电荷元到B端的距离。因此，点P处的电场强度为：
$$
E_{P} = \int_{0}^{l} \dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {\lambda dl}{(d + l - x)^{2}} = \dfrac {\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}\int_{0}^{l} \dfrac {dl}{(d + l - x)^{2}} = \dfrac {\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}[ \dfrac {1}{d}-\dfrac {1}{d+l}]
$$
步骤 3：计算点Q处的电场强度
点Q处的电场强度同样由AB上各点的电荷贡献，点Q到电荷元的距离为 $r = \sqrt {d^{2} + (\dfrac {l}{2} - x)^{2}}$，其中 $x$ 是电荷元到AB中点的距离。因此，点Q处的电场强度为：
$$
E_{Q} = \int_{0}^{l} \dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {\lambda dl}{\sqrt {d^{2} + (\dfrac {l}{2} - x)^{2}}^{2}} = \dfrac {\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}d}\sqrt {\dfrac {1}{{d}^{2}+{(\dfrac {1}{2})}^{2}}}
$$