一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。根据此图，它的周期T=______，用余弦函数描述时初相 ______。4-|||-°Q t(s)-|||-2-|||--2
一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。根据此图，它的周期$T=$______，用余弦函数描述时初相 ______。
题目解答
答案
【答案】
$\dfrac{24}{11}$；$\dfrac{2\pi }{3}$
【解析】
设其余弦函数为：$x=A\cos \left(\omega t+\varphi \right)$($A\gt 0$，$\omega \gt 0$)，
由图可知振幅$A=4$，即$x=4\cos \left(\omega t+\varphi \right)$，
把点$\left(0,-2\right)$代入$x=4\cos \left(\omega t+\varphi \right)$，可得：
$4\cos \varphi =-2$，即$\cos \varphi =-\dfrac{1}{2}$，
$\therefore \varphi =\dfrac{2\pi }{3}+2k\pi $，$k\in Z$，
当$k=0$时，$\varphi =\dfrac{2\pi }{3}$，即初相为$\dfrac{2\pi }{3}$，
把点$\left(2,0\right)$代入$x=4\cos \left(\omega t+\varphi \right)$，可得：
$\cos \left(2\omega +\varphi \right)=0$，
$\therefore $$2\omega +\varphi =\dfrac{\pi }{2}+2k\pi $，$k\in Z$，
$\therefore $$2\omega +\dfrac{2\pi }{3}=\dfrac{\pi }{2}+2k\pi $，$k\in Z$，
$\therefore $$\omega =-\dfrac{\pi }{12}+k\pi $，$k\in Z$，
当$k=1$时，$\omega =-\dfrac{\pi }{12}+\pi =\dfrac{11}{12}\pi $，
$\therefore $周期$T=\dfrac{2\pi }{\omega }=\dfrac{2\pi }{\frac{11}{12}\pi }=\dfrac{24}{11}$.
故答案为：$\dfrac{24}{11}$；$\dfrac{2\pi }{3}$
解析
从图中可以看出，质点的最大位移为4，因此振幅$A=4$。
步骤 2：确定初相
在$t=0$时，质点的位移为-2，代入余弦函数$x=A\cos(\omega t+\varphi)$，得到$-2=4\cos(\varphi)$，解得$\cos(\varphi)=-\frac{1}{2}$，因此$\varphi=\frac{2\pi}{3}$。
步骤 3：确定角频率
在$t=2$时，质点的位移为0，代入余弦函数$x=A\cos(\omega t+\varphi)$，得到$0=4\cos(2\omega+\varphi)$，解得$2\omega+\varphi=\frac{\pi}{2}$，代入$\varphi=\frac{2\pi}{3}$，解得$\omega=\frac{11\pi}{12}$。
步骤 4：确定周期
周期$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\frac{11\pi}{12}}=\frac{24}{11}$。