一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。根据此图，它的周期T=______，用余弦函数描述时初相 ______。4-|||-°Q t(s)-|||-2-|||--2
一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。根据此图，它的周期$T=$______，用余弦函数描述时初相 ______。
题目解答
答案
【答案】
$\dfrac{24}{11}$；$\dfrac{2\pi }{3}$
【解析】
设其余弦函数为：$x=A\cos \left(\omega t+\varphi \right)$($A\gt 0$，$\omega \gt 0$)，
由图可知振幅$A=4$，即$x=4\cos \left(\omega t+\varphi \right)$，
把点$\left(0,-2\right)$代入$x=4\cos \left(\omega t+\varphi \right)$，可得：
$4\cos \varphi =-2$，即$\cos \varphi =-\dfrac{1}{2}$，
$\therefore \varphi =\dfrac{2\pi }{3}+2k\pi $，$k\in Z$，
当$k=0$时，$\varphi =\dfrac{2\pi }{3}$，即初相为$\dfrac{2\pi }{3}$，
把点$\left(2,0\right)$代入$x=4\cos \left(\omega t+\varphi \right)$，可得：
$\cos \left(2\omega +\varphi \right)=0$，
$\therefore $$2\omega +\varphi =\dfrac{\pi }{2}+2k\pi $，$k\in Z$，
$\therefore $$2\omega +\dfrac{2\pi }{3}=\dfrac{\pi }{2}+2k\pi $，$k\in Z$，
$\therefore $$\omega =-\dfrac{\pi }{12}+k\pi $，$k\in Z$，
当$k=1$时，$\omega =-\dfrac{\pi }{12}+\pi =\dfrac{11}{12}\pi $，
$\therefore $周期$T=\dfrac{2\pi }{\omega }=\dfrac{2\pi }{\frac{11}{12}\pi }=\dfrac{24}{11}$.
故答案为：$\dfrac{24}{11}$；$\dfrac{2\pi }{3}$
解析
考查要点：本题主要考查简谐振动的振动方程建立，涉及振幅、周期、初相的确定方法。
解题核心思路：
- 振幅：由振动曲线的最大位移直接确定。
- 初相：利用初始时刻（t=0）的位移代入余弦函数方程求解。
- 周期：通过振动曲线上的另一已知点确定角频率，进而计算周期。
破题关键点：
- 振幅：图像中最大位移绝对值即为振幅。
- 初相：通过t=0时的位移值建立方程，结合余弦函数的相位特性求解。
- 角频率：利用振动曲线上的另一已知点（如过零点）建立方程，结合周期公式求解。
设简谐振动的余弦函数形式为：
$x = A\cos(\omega t + \varphi) \quad (A > 0, \omega > 0)$
1. 确定振幅$A$
由振动曲线可知，质点的最大位移为$4$，因此振幅：
$A = 4$
2. 确定初相$\varphi$
当$t = 0$时，质点的位移$x = -2$，代入方程：
$4\cos\varphi = -2 \implies \cos\varphi = -\frac{1}{2}$
解得：
$\varphi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$
取主值范围$[0, 2\pi)$，得初相：
$\varphi = \frac{2\pi}{3}$
3. 确定角频率$\omega$和周期$T$
当$t = 2$时，质点的位移$x = 0$，代入方程：
$4\cos(2\omega + \varphi) = 0 \implies \cos(2\omega + \varphi) = 0$
解得：
$2\omega + \varphi = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad (n \in \mathbb{Z})$
将$\varphi = \frac{2\pi}{3}$代入：
$2\omega + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies \omega = -\frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{2}$
为保证$\omega > 0$，取$n = 1$，得：
$\omega = \frac{11\pi}{12}$
周期为：
$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\frac{11\pi}{12}} = \frac{24}{11}$