在间歇反应器中进行等温一级反应 A → B, − rA = 0.01C Amol / l ⋅ s , 当 CA0 = 1mol / l 时, 求反应至CA = 0.01mol / l 所需时间 t= 秒。( )A. 400B. 460C. 500D. 560

本题考查一级反应动力学方程的应用。解题思路是先明确一级反应的速率方程，然后通过积分得到反应时间与反应物初始浓度和某一时刻浓度的关系，最后将题目所给数据代入该关系式计算出反应时间。

对于一级反应$A \to B$，其反应速率方程为$-r_{A}=kC_{A}$，已知$-r_{A} = 0.01C_{A}\ mol / (l\cdot s)$，所以反应速率常数$k = 0.01\ s^{-1}$。

一级反应的速率方程$-r_{A}=kC_{A}$可写成$-\frac{dC_{A}}{dt}=kC_{A}$，对其进行分离变量可得$\frac{dC_{A}}{C_{A}}=-kdt$。

接下来对等式两边进行积分，积分下限为初始时刻$t = 0$时反应物$A$的浓度$C_{A0}$，上限为反应进行到$t$时刻时反应物$A$的浓度$C_{A}$，即$\int_{C_{A0}}^{C_{A}}\frac{dC_{A}}{C_{A}}=-\int_{0}^{t}kdt$。

根据积分公式$\int\frac{1}{x}dx=\ln x + C$，对左边积分可得$\ln C_{A}-\ln C_{A0}$，根据对数运算法则$\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$，则$\ln C_{A}-\ln C_{A0}=\ln\frac{C_{A}}{C_{A0}}$。

对右边积分可得$-kt\big|_{0}^{t}=-kt$。

所以$\ln\frac{C_{A}}{C_{A0}}=-kt$，变形可得$t = -\frac{1}{k}\ln\frac{C_{A}}{C_{A0}}=\frac{1}{k}\ln\frac{C_{A0}}{C_{A}}$。

已知$C_{A0} = 1\ mol / l$，$C_{A} = 0.01\ mol / l$，$k = 0.01\ s^{-1}$，将这些数据代入上式可得：

$t=\frac{1}{0.01}\ln\frac{1}{0.01}$
$= 100\times\ln100$
因为$\ln100=\ln10^{2}=2\ln10\approx2\times2.303 = 4.606$，所以$t\approx100\times4.606 = 460.6\ s\approx460\ s$。