题目
y/cm-|||-2 y/c-|||-2 2一平面简谐波在媒质中以波速u=5m/s沿x轴正向传播,原点O处质元的振动曲线如图所示。求(1)该波的波动方程;(2)25m处质元的振动方程,并画出该处质元的振动曲线;(3)t=3s的波形曲线方程,并画出该时刻的波形曲线。
一平面简谐波在媒质中以波速u=5m/s沿x轴正向传播,原点O处质元的振动曲线如图所示。求(1)该波的波动方程;(2)25m处质元的振动方程,并画出该处质元的振动曲线;(3)t=3s的波形曲线方程,并画出该时刻的波形曲线。
题目解答
答案
解:由图可得振幅为A=2cm,周期为4s,
角频率
,根据振动曲线可知
O点在t=0时位于平衡位置,之后向正向
最大位移处运动,可画出旋转矢量图,
由图可知初相位
,
(1)该波的波函数为:
(2)将x=25代入波函数得25m处质元的振动方程
(3)t=3S代入波函数方程得t=3S的波形曲线方程为:
波形曲线如图。
解析
步骤 1：确定波的参数
由图可知，振幅A=2cm，周期T=4s，角频率$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ rad/s。波速u=5m/s，波长$\lambda = uT = 5 \times 4 = 20$m。原点O处质元在t=0时位于平衡位置，之后向正向最大位移处运动，因此初相位$\phi = -\frac{\pi}{2}$。
步骤 2：写出波动方程
波动方程的一般形式为$y(x,t) = A\cos(\omega t - kx + \phi)$，其中$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10}$ rad/m。将已知参数代入，得到波动方程$y(x,t) = 2\cos(\frac{\pi}{2}t - \frac{\pi}{10}x - \frac{\pi}{2})$。
步骤 3：求25m处质元的振动方程
将x=25代入波动方程，得到$y(25,t) = 2\cos(\frac{\pi}{2}t - \frac{\pi}{10} \times 25 - \frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}t - \frac{5\pi}{2} - \frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}t - 3\pi) = 2\cos(\frac{\pi}{2}t)$。因此，25m处质元的振动方程为$y(25,t) = 2\cos(\frac{\pi}{2}t)$。
步骤 4：求t=3s的波形曲线方程
将t=3代入波动方程，得到$y(x,3) = 2\cos(\frac{\pi}{2} \times 3 - \frac{\pi}{10}x - \frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{10}x - \frac{\pi}{2}) = 2\cos(\pi - \frac{\pi}{10}x) = -2\cos(\frac{\pi}{10}x)$。因此，t=3s的波形曲线方程为$y(x,3) = -2\cos(\frac{\pi}{10}x)$。
由图可知，振幅A=2cm，周期T=4s，角频率$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ rad/s。波速u=5m/s，波长$\lambda = uT = 5 \times 4 = 20$m。原点O处质元在t=0时位于平衡位置，之后向正向最大位移处运动，因此初相位$\phi = -\frac{\pi}{2}$。
步骤 2：写出波动方程
波动方程的一般形式为$y(x,t) = A\cos(\omega t - kx + \phi)$，其中$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10}$ rad/m。将已知参数代入，得到波动方程$y(x,t) = 2\cos(\frac{\pi}{2}t - \frac{\pi}{10}x - \frac{\pi}{2})$。
步骤 3：求25m处质元的振动方程
将x=25代入波动方程，得到$y(25,t) = 2\cos(\frac{\pi}{2}t - \frac{\pi}{10} \times 25 - \frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}t - \frac{5\pi}{2} - \frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}t - 3\pi) = 2\cos(\frac{\pi}{2}t)$。因此，25m处质元的振动方程为$y(25,t) = 2\cos(\frac{\pi}{2}t)$。
步骤 4：求t=3s的波形曲线方程
将t=3代入波动方程，得到$y(x,3) = 2\cos(\frac{\pi}{2} \times 3 - \frac{\pi}{10}x - \frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{10}x - \frac{\pi}{2}) = 2\cos(\pi - \frac{\pi}{10}x) = -2\cos(\frac{\pi}{10}x)$。因此，t=3s的波形曲线方程为$y(x,3) = -2\cos(\frac{\pi}{10}x)$。