一半径为a的"无限长"圆柱形导体,单位长度带电荷为λ.其外套一层各向同性均匀电介-|||-质,其相对介电常量为ε,,内、外半径分别为a和b.试求电位移和场强的分布.

步骤 1：确定圆柱导体内部的电位移和场强
在圆柱导体内部，即半径 \( r < a \) 的区域，由于没有电荷分布，根据高斯定理，电位移 \( \mathbf{D} \) 和电场强度 \( \mathbf{E} \) 都为零。
步骤 2：确定圆柱导体外部的电位移和场强
在圆柱导体外部，即半径 \( r > a \) 的区域，应用高斯定理。选取一个半径为 \( r \)、长度为 \( L \) 的同轴圆柱形高斯面，其内部的总电荷为 \( \lambda L \)。根据高斯定理，电位移 \( \mathbf{D} \) 的通量等于内部的总电荷，即：
\[ 2\pi r L D = \lambda L \]
解得：
\[ D = \frac{\lambda}{2\pi r} \]
在电介质中，电位移 \( \mathbf{D} \) 和电场强度 \( \mathbf{E} \) 的关系为：
\[ D = \epsilon_0 \epsilon_r E \]
因此，电场强度 \( \mathbf{E} \) 为：
\[ E = \frac{D}{\epsilon_0 \epsilon_r} = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 \epsilon_r r} \]
步骤 3：确定电介质内部的电位移和场强
在电介质内部，即半径 \( a < r < b \) 的区域，电位移 \( \mathbf{D} \) 和电场强度 \( \mathbf{E} \) 的关系同样为：
\[ D = \epsilon_0 \epsilon_r E \]
因此，电位移 \( \mathbf{D} \) 为：
\[ D = \frac{\lambda}{2\pi r} \]
电场强度 \( \mathbf{E} \) 为：
\[ E = \frac{D}{\epsilon_0 \epsilon_r} = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 \epsilon_r r} \]