题目
在倔强系数为k的弹簧下，挂一质量为M的托盘．质量为m的物体由距盘底高h处自由下落与盘发生完全非弹性碰撞，而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为t=0时刻，求振动方程．
在倔强系数为k的弹簧下，挂一质量为M的托盘．质量为m的物体由距盘底高h处自由下落与盘发生完全非弹性碰撞，而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为t=0时刻，求振动方程．
题目解答
答案
物体落下后、碰撞前的速度为：v=2gh，物体与托盘做完全非弹簧碰撞后，根据动量守恒定律可得它们的共同速度为
解析
步骤 1：计算物体下落前的速度
物体由距盘底高h处自由下落，根据自由落体运动公式，物体下落前的速度为：$v = \sqrt{2gh}$。
步骤 2：计算碰撞后的共同速度
物体与托盘发生完全非弹性碰撞，根据动量守恒定律，碰撞后的共同速度为：$v_0 = \frac{m}{m+M}v = \frac{m}{m+M}\sqrt{2gh}$。
步骤 3：计算振动的圆频率
振动的圆频率为：$\omega = \sqrt{\frac{k}{m+M}}$。
步骤 4：计算托盘平衡时弹簧的伸长量
物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸长为：$x_1 = \frac{Mg}{k}$。
步骤 5：计算碰撞后新的平衡位置的弹簧伸长量
物体与托盘碰撞之后，在新的平衡位置，弹簧伸长为：$x_2 = \frac{(M+m)g}{k}$。
步骤 6：计算振动的初位移
取新的平衡位置为原点，取向下的方向为正，振动的初位移为：$x_0 = x_1 - x_2 = \frac{Mg}{k} - \frac{(M+m)g}{k} = -\frac{mg}{k}$。
步骤 7：计算振动的振幅
振动的振幅为：$A = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{mg}{k}\right)^2 + \left(\frac{m\sqrt{2gh}}{m+M}\right)^2 \cdot \frac{m+M}{k}} = \sqrt{\frac{m^2g^2}{k^2} + \frac{2m^2gh}{k(m+M)}}$。
步骤 8：计算振动的初位相
振动的初位相为：$\varphi = \arctan\left(\frac{-v_0}{\omega x_0}\right) = \arctan\left(\frac{-\frac{m\sqrt{2gh}}{m+M}}{\sqrt{\frac{k}{m+M}} \cdot -\frac{mg}{k}}\right) = \arctan\left(\frac{2kh}{(m+M)g}\right)$。
物体由距盘底高h处自由下落，根据自由落体运动公式，物体下落前的速度为：$v = \sqrt{2gh}$。
步骤 2：计算碰撞后的共同速度
物体与托盘发生完全非弹性碰撞，根据动量守恒定律，碰撞后的共同速度为：$v_0 = \frac{m}{m+M}v = \frac{m}{m+M}\sqrt{2gh}$。
步骤 3：计算振动的圆频率
振动的圆频率为：$\omega = \sqrt{\frac{k}{m+M}}$。
步骤 4：计算托盘平衡时弹簧的伸长量
物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸长为：$x_1 = \frac{Mg}{k}$。
步骤 5：计算碰撞后新的平衡位置的弹簧伸长量
物体与托盘碰撞之后，在新的平衡位置，弹簧伸长为：$x_2 = \frac{(M+m)g}{k}$。
步骤 6：计算振动的初位移
取新的平衡位置为原点，取向下的方向为正，振动的初位移为：$x_0 = x_1 - x_2 = \frac{Mg}{k} - \frac{(M+m)g}{k} = -\frac{mg}{k}$。
步骤 7：计算振动的振幅
振动的振幅为：$A = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{mg}{k}\right)^2 + \left(\frac{m\sqrt{2gh}}{m+M}\right)^2 \cdot \frac{m+M}{k}} = \sqrt{\frac{m^2g^2}{k^2} + \frac{2m^2gh}{k(m+M)}}$。
步骤 8：计算振动的初位相
振动的初位相为：$\varphi = \arctan\left(\frac{-v_0}{\omega x_0}\right) = \arctan\left(\frac{-\frac{m\sqrt{2gh}}{m+M}}{\sqrt{\frac{k}{m+M}} \cdot -\frac{mg}{k}}\right) = \arctan\left(\frac{2kh}{(m+M)g}\right)$。