在一个大豆的 mathrm(F)_2 遗传群体中，两个分子标记位点的非交换类型个体的比率为 0.95，交换类型的比率为 0.05。①如果从该群体中随机选 100 株，可检测到交换型基因型的概率是多少？②如希望有 95% 的概率检测到至少一个交换型基因型，则需要多少株？

本题主要考查二项分布的概率计算以及对数运算在概率问题中的应用。解题的关键在于理解非交换类型和交换类型个体的概率关系，利用对立事件的概率公式来计算至少出现一个交换型基因型的概率，再通过对数运算求解满足特定检测概率所需的个体数量。

①计算随机选 100 株可检测到交换型基因型的概率

• 已知交换类型个体的比率为 $p = 0.05$，那么非交换类型个体的比率为 $1 - p = 0.95$。
• 从该群体中随机选 100 株，都不出现交换型基因型（即全是非交换型基因型）的概率，根据独立事件概率的乘法原理，每一株是非交换型的概率都为 $0.95$，所以 100 株都不是交换型的概率为 $(0.95)^{100}$。
• 而“至少有一株是交换型基因型”与“100 株都不是交换型基因型”是对立事件，根据对立事件概率之和为 1，所以至少有一株是交换型基因型的概率 $P(\text{至少一株是交换型}) = 1 - P(\text{100 株都不是交换型}) = 1 - (0.95)^{100}$。
• 计算 $(0.95)^{100}$，使用计算器可得 $(0.95)^{100} \approx 0.00592$。
• 则 $P(\text{至少一株是交换型}) \approx 1 - 0.00592 = 0.99408$，将其转化为百分数形式，即 $0.99408\times100\% = 99.408\% \approx 99.41\%$。

②计算有 95% 的概率检测到至少一个交换型基因型所需的株数

• 设需要 $n$ 株，同样，“至少有一株是交换型基因型”的概率为 $1 - (0.95)^n$，已知希望有 95% 的概率检测到至少一个交换型基因型，所以可得不等式 $1 - (0.95)^n \geq 0.95$。
• 对不等式进行移项可得 $(0.95)^n \leq 1 - 0.95 = 0.05$。
• 为了求解 $n$，对不等式两边取自然对数，根据对数函数的性质 $\ln a^b = b\ln a$，可得 $n\ln(0.95) \leq \ln(0.05)$。
• 因为 $\ln(0.95) \lt 0$，所以不等式两边同时除以 $\ln(0.95)$ 时，不等号方向改变，即 $n \geq \frac{\ln(0.05)}{\ln(0.95)}$。
• 计算 $\ln(0.05) \approx -2.9957$，$\ln(0.95) \approx -0.0513$，则 $\frac{\ln(0.05)}{\ln(0.95)} \approx \frac{-2.9957}{-0.0513} \approx 58.4$。
• 由于 $n$ 为株数，必须为整数，所以 $n$ 取大于等于 $58.4$ 的最小整数，即 $n \geq 59$。