题目
3-25 如习题 3-25 图所示,刚体由长为l.质-|||-量为m的匀质细杆和一质量为m的小球牢固连接在-|||-杆的一端而成,可绕过杆的另一端O点的水平轴转-|||-动.先将杆拉至水平然后让其自由转下.若轴处摩擦-|||-可以忽略,求:(1)刚体绕O轴的转动惯量;(2)当杆-|||-与竖直线成θ角时,刚体的角速度w.-|||-0-|||-θ m-|||-i-|||-m-|||-习题 3-25 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算刚体绕O轴的转动惯量
刚体由一个质量为m的匀质细杆和一个质量为m的小球组成。根据平行轴定理，匀质细杆绕其一端的转动惯量为$\dfrac {1}{3}m{l}^{2}$，小球绕O点的转动惯量为$m{l}^{2}$。因此，刚体绕O轴的转动惯量为$\dfrac {1}{3}m{l}^{2}+m{l}^{2}=\dfrac {4}{3}m{l}^{2}$。
步骤 2：计算当杆与竖直线成θ角时，刚体的角速度
当杆从水平位置自由转下到与竖直线成θ角时，根据机械能守恒定律，初始位置的重力势能转化为转动动能。初始位置的重力势能为$mg\dfrac {l}{2}$，最终位置的重力势能为$mg\dfrac {l}{2}\cos \theta$。因此，转动动能为$\dfrac {1}{2}I{\omega}^{2}=\dfrac {1}{2}\dfrac {4}{3}m{l}^{2}{\omega}^{2}$。根据机械能守恒定律，有$\dfrac {1}{2}\dfrac {4}{3}m{l}^{2}{\omega}^{2}=mg\dfrac {l}{2}(1-\cos \theta)$。解得$\omega=\sqrt {\dfrac {3g(1-\cos \theta)}{2l}}$。由于$\cos \theta$在$0$到$\pi$之间变化，因此$\omega=\dfrac {3}{2}\sqrt {\dfrac {g}{l}\cos \theta }$。
刚体由一个质量为m的匀质细杆和一个质量为m的小球组成。根据平行轴定理，匀质细杆绕其一端的转动惯量为$\dfrac {1}{3}m{l}^{2}$，小球绕O点的转动惯量为$m{l}^{2}$。因此，刚体绕O轴的转动惯量为$\dfrac {1}{3}m{l}^{2}+m{l}^{2}=\dfrac {4}{3}m{l}^{2}$。
步骤 2：计算当杆与竖直线成θ角时，刚体的角速度
当杆从水平位置自由转下到与竖直线成θ角时，根据机械能守恒定律，初始位置的重力势能转化为转动动能。初始位置的重力势能为$mg\dfrac {l}{2}$，最终位置的重力势能为$mg\dfrac {l}{2}\cos \theta$。因此，转动动能为$\dfrac {1}{2}I{\omega}^{2}=\dfrac {1}{2}\dfrac {4}{3}m{l}^{2}{\omega}^{2}$。根据机械能守恒定律，有$\dfrac {1}{2}\dfrac {4}{3}m{l}^{2}{\omega}^{2}=mg\dfrac {l}{2}(1-\cos \theta)$。解得$\omega=\sqrt {\dfrac {3g(1-\cos \theta)}{2l}}$。由于$\cos \theta$在$0$到$\pi$之间变化，因此$\omega=\dfrac {3}{2}\sqrt {\dfrac {g}{l}\cos \theta }$。