[题目]在一维势场中运动的粒子,势能对原点对-|||-称 U(-x)=U(x) 证明粒子的定态波函数具有确定-|||-的宇称

步骤 1：写出定态薛定谔方程
在一维势场中运动的粒子的定态薛定谔方程为：
$$
-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2\varphi(x)}{dx^2} + U(x)\varphi(x) = E\varphi(x)
$$
步骤 2：将方程中的 $x$ 替换为 $-x$
将方程中的 $x$ 替换为 $-x$，得到：
$$
-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2\varphi(-x)}{d(-x)^2} + U(-x)\varphi(-x) = E\varphi(-x)
$$
步骤 3：利用势能的对称性
由于势能对原点对称，即 $U(-x) = U(x)$，因此方程变为：
$$
-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2\varphi(-x)}{dx^2} + U(x)\varphi(-x) = E\varphi(-x)
$$
步骤 4：比较两个方程
比较原方程和替换后的方程，可以看出 $\varphi(-x)$ 和 $\varphi(x)$ 都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此 $\varphi(-x)$ 和 $\varphi(x)$ 之间只能相差一个常数 $c$，即：
$$
\varphi(-x) = c\varphi(x)
$$
步骤 5：确定常数 $c$
将 $\varphi(-x) = c\varphi(x)$ 代入替换后的方程，得到：
$$
-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2(c\varphi(x))}{dx^2} + U(x)(c\varphi(x)) = E(c\varphi(x))
$$
由于 $c$ 是常数，因此可以将 $c$ 提出，得到：
$$
c\left(-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2\varphi(x)}{dx^2} + U(x)\varphi(x)\right) = Ec\varphi(x)
$$
由于原方程成立，因此上式也成立，即：
$$
c\left(-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2\varphi(x)}{dx^2} + U(x)\varphi(x)\right) = E\varphi(x)
$$
比较两边，得到 $c = \pm 1$。
步骤 6：确定宇称
当 $c = +1$ 时，$\varphi(-x) = \varphi(x)$，即波函数具有偶宇称；
当 $c = -1$ 时，$\varphi(-x) = -\varphi(x)$，即波函数具有奇宇称。