题目
[题目]一系统作简谐振动,周期为T,以余弦函-|||-数表达振动时,初相为零。在 leqslant tleqslant dfrac (1)(2)T 范围内,系-|||-统在 t= 时刻动能和势能相等。
题目解答
答案
【解析】
动能和势能相等，为总能量的一半，根据${E}_{p}=\dfrac{k{x}^{2}}{2}$可知，此时物体偏离平衡位置的位移应为最大位移的$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，因为初始相位为零，且$0\leqslant t\leqslant \dfrac{T}{2}$，则$t=\dfrac{T}{8}$或$\dfrac{3T}{8}$。
【答案】
$\dfrac{T}{8}$或$\dfrac{3T}{8}$。
解析
步骤 1：动能和势能相等
动能和势能相等时，它们各自等于总能量的一半。对于简谐振动，总能量 $E$ 可以表示为 $E = \frac{1}{2}kA^2$，其中 $k$ 是弹簧常数，$A$ 是振幅。因此，动能和势能各自为 $\frac{1}{4}kA^2$。
步骤 2：势能表达式
势能 $E_p$ 可以表示为 $E_p = \frac{1}{2}kx^2$，其中 $x$ 是物体偏离平衡位置的位移。当动能和势能相等时，$E_p = \frac{1}{4}kA^2$，因此 $\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{4}kA^2$。解这个方程得到 $x = \frac{A}{\sqrt{2}}$。
步骤 3：时间计算
由于振动是简谐振动，位移 $x$ 可以表示为 $x = A\cos(\omega t)$，其中 $\omega = \frac{2\pi}{T}$ 是角频率。当 $x = \frac{A}{\sqrt{2}}$ 时，$\cos(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$。因此，$\omega t = \frac{\pi}{4}$ 或 $\omega t = \frac{7\pi}{4}$。由于 $0 \leqslant t \leqslant \frac{T}{2}$，我们只考虑 $\omega t = \frac{\pi}{4}$，即 $t = \frac{T}{8}$。同时，由于简谐振动的对称性，$t = \frac{3T}{8}$ 也是满足条件的时刻。
动能和势能相等时，它们各自等于总能量的一半。对于简谐振动，总能量 $E$ 可以表示为 $E = \frac{1}{2}kA^2$，其中 $k$ 是弹簧常数，$A$ 是振幅。因此，动能和势能各自为 $\frac{1}{4}kA^2$。
步骤 2：势能表达式
势能 $E_p$ 可以表示为 $E_p = \frac{1}{2}kx^2$，其中 $x$ 是物体偏离平衡位置的位移。当动能和势能相等时，$E_p = \frac{1}{4}kA^2$，因此 $\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{4}kA^2$。解这个方程得到 $x = \frac{A}{\sqrt{2}}$。
步骤 3：时间计算
由于振动是简谐振动，位移 $x$ 可以表示为 $x = A\cos(\omega t)$，其中 $\omega = \frac{2\pi}{T}$ 是角频率。当 $x = \frac{A}{\sqrt{2}}$ 时，$\cos(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$。因此，$\omega t = \frac{\pi}{4}$ 或 $\omega t = \frac{7\pi}{4}$。由于 $0 \leqslant t \leqslant \frac{T}{2}$，我们只考虑 $\omega t = \frac{\pi}{4}$，即 $t = \frac{T}{8}$。同时，由于简谐振动的对称性，$t = \frac{3T}{8}$ 也是满足条件的时刻。