[题目]一系统作简谐振动,周期为T,以余弦函-|||-数表达振动时,初相为零。在 leqslant tleqslant dfrac (1)(2)T 范围内,系-|||-统在 t= 时刻动能和势能相等。

考查要点：本题主要考查简谐振动中动能与势能的关系，以及如何根据振动方程确定特定时刻的时间点。

解题核心思路：

1. 动能与势能相等时，说明此时势能（或动能）等于总能量的一半。
2. 根据势能公式 $E_p = \dfrac{kx^2}{2}$，可推导出此时位移 $x = \dfrac{A}{\sqrt{2}}$（$A$ 为振幅）。
3. 结合振动方程 $x(t) = A\cos(\omega t)$，解方程 $\cos(\omega t) = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$，并筛选出满足 $0 \leq t \leq \dfrac{T}{2}$ 的解。

破题关键点：

• 总能量守恒：动能与势能之和恒为总能量。
• 相位与时间的关系：通过余弦函数的周期性确定符合条件的时间点。

步骤1：确定位移条件

当动能等于势能时，有 $E_k = E_p = \dfrac{E}{2}$，其中总能量 $E = \dfrac{kA^2}{2}$。
根据势能公式 $E_p = \dfrac{kx^2}{2}$，代入 $E_p = \dfrac{E}{2}$ 得：
$\dfrac{kx^2}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{kA^2}{2} \implies x^2 = \dfrac{A^2}{2} \implies x = \pm \dfrac{A}{\sqrt{2}}.$

步骤2：代入振动方程

振动方程为 $x(t) = A\cos(\omega t)$，其中 $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$。
令 $A\cos(\omega t) = \pm \dfrac{A}{\sqrt{2}}$，得：
$\cos(\omega t) = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}.$

步骤3：求解时间

当 $\cos(\omega t) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 时，$\omega t = \dfrac{\pi}{4} + 2n\pi$，对应 $t = \dfrac{\pi}{4\omega} = \dfrac{T}{8}$。
当 $\cos(\omega t) = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 时，$\omega t = \dfrac{3\pi}{4} + 2n\pi$，对应 $t = \dfrac{3\pi}{4\omega} = \dfrac{3T}{8}$。
在 $0 \leq t \leq \dfrac{T}{2}$ 范围内，仅有 $t = \dfrac{T}{8}$ 和 $t = \dfrac{3T}{8}$ 有效。