题目
电荷量Q均匀的分布在半径为R的球体内，试求离球心r处（r<R）的电势。
电荷量Q均匀的分布在半径为R的球体内，试求离球心r处（r<R）的电势。
题目解答
答案
由于电荷分布是球对称的,所以空间场强分布也是球形对称的,即与球心O距离相等的球面上各点的场强大小相等,方向沿半径呈辐射状.
设球内P点到球心的距离为r,取以球心为中心,r为半径的闭合球面S为高斯面.则S上的面元dS的法线n与面元处场强E的方向相同,且高斯面上各点场强大小相等,所以∮E×dS=E∮dS=
①在球内场强rRΣq=QE=
由于P在球内,对r求积分时,要分成r到R,和R到无穷大,将
,代进去就OK了
带入后，这道题目的答案为：
解析
步骤 1：确定电荷分布和电场分布
电荷量Q均匀分布在半径为R的球体内，因此电荷分布是球对称的。根据高斯定理，电场分布也是球对称的，即与球心O距离相等的球面上各点的场强大小相等，方向沿半径呈辐射状。
步骤 2：应用高斯定理求解电场
设球内P点到球心的距离为r，取以球心为中心，r为半径的闭合球面S为高斯面。则S上的面元dS的法线n与面元处场强E的方向相同，且高斯面上各点场强大小相等。根据高斯定理，有：
$$
\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}
$$
其中，$Q_{\text{enc}}$是高斯面内包含的电荷量。由于电荷分布均匀，高斯面内包含的电荷量为：
$$
Q_{\text{enc}} = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{Qr^3}{R^3}
$$
因此，电场强度E为：
$$
E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Qr^3}{R^3 \varepsilon_0}
$$
$$
E = \frac{Qr}{4\pi R^3 \varepsilon_0}
$$
步骤 3：计算电势
电势定义为单位正电荷从无穷远处移动到某点时电场力所做的功。因此，电势V为：
$$
V = -\int_{\infty}^{r} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r}
$$
由于电场是径向的，积分路径可以取为径向路径，因此：
$$
V = -\int_{\infty}^{r} E dr = -\int_{\infty}^{r} \frac{Qr}{4\pi R^3 \varepsilon_0} dr
$$
$$
V = -\frac{Q}{4\pi R^3 \varepsilon_0} \int_{\infty}^{r} r dr
$$
$$
V = -\frac{Q}{4\pi R^3 \varepsilon_0} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{\infty}^{r}
$$
$$
V = \frac{Qr^2}{8\pi R^3 \varepsilon_0}
$$
电荷量Q均匀分布在半径为R的球体内，因此电荷分布是球对称的。根据高斯定理，电场分布也是球对称的，即与球心O距离相等的球面上各点的场强大小相等，方向沿半径呈辐射状。
步骤 2：应用高斯定理求解电场
设球内P点到球心的距离为r，取以球心为中心，r为半径的闭合球面S为高斯面。则S上的面元dS的法线n与面元处场强E的方向相同，且高斯面上各点场强大小相等。根据高斯定理，有：
$$
\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}
$$
其中，$Q_{\text{enc}}$是高斯面内包含的电荷量。由于电荷分布均匀，高斯面内包含的电荷量为：
$$
Q_{\text{enc}} = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{Qr^3}{R^3}
$$
因此，电场强度E为：
$$
E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Qr^3}{R^3 \varepsilon_0}
$$
$$
E = \frac{Qr}{4\pi R^3 \varepsilon_0}
$$
步骤 3：计算电势
电势定义为单位正电荷从无穷远处移动到某点时电场力所做的功。因此，电势V为：
$$
V = -\int_{\infty}^{r} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r}
$$
由于电场是径向的，积分路径可以取为径向路径，因此：
$$
V = -\int_{\infty}^{r} E dr = -\int_{\infty}^{r} \frac{Qr}{4\pi R^3 \varepsilon_0} dr
$$
$$
V = -\frac{Q}{4\pi R^3 \varepsilon_0} \int_{\infty}^{r} r dr
$$
$$
V = -\frac{Q}{4\pi R^3 \varepsilon_0} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{\infty}^{r}
$$
$$
V = \frac{Qr^2}{8\pi R^3 \varepsilon_0}
$$