(10分)机械系统如图所示,其中,外力f(t)为系统的输入,位移x(t)为系统的输出,m为小车质量,k为弹簧的弹性系数,B为阻尼器的阻尼系数,试求系统的传递函数(忽略小车与地面的摩擦)。f(t)-|||-k x(t)-|||-m-|||-B

考查要点：本题主要考查机械系统的传递函数推导，涉及微分方程的建立和拉普拉斯变换的应用。

解题核心思路：

1. 受力分析：根据牛顿第二定律，建立系统受力平衡方程。
2. 微分方程：将受力关系转化为二阶微分方程。
3. 拉普拉斯变换：在零初始条件下对微分方程进行拉普拉斯变换，得到传递函数。

破题关键点：

• 方向一致性：明确各力的方向（外力、弹簧力、阻尼力）与位移方向的关系。
• 符号处理：确保微分方程中各项符号正确，避免因方向错误导致传递函数符号偏差。

步骤1：建立微分方程

根据牛顿第二定律，小车的加速度由外力、弹簧力和阻尼力共同决定：

• 外力 $f(t)$ 向右；
• 弹簧力 $kx(t)$ 向左；
• 阻尼力 $B\frac{dx}{dt}$ 向左。

受力平衡方程为：
$f(t) - B\frac{dx}{dt} - kx(t) = m\frac{d^2x}{dt^2}$
整理得：
$m\frac{d^2x}{dt^2} + B\frac{dx}{dt} + kx(t) = f(t)$

步骤2：拉普拉斯变换

假设零初始条件，对微分方程两边取拉普拉斯变换：
$m s^2 X(s) + B s X(s) + k X(s) = F(s)$

步骤3：求传递函数

将方程整理为输出与输入之比：
$\frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1}{m s^2 + B s + k}$