1 一物体沿x轴做简谐振动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物体的位移x = 0.06m，且向x轴正向运动．求：（1）此简谐振动的表达式；（2）t = T/4时物体的位置、速度和加速度；（3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．

（1）设物体的简谐振动方程为

x = Acos(ωt + φ)，

其中A = 0.12m，角频率ω = 2π/T = π．

当t = 0时，x = 0.06m，所以

cosφ = 0.5，

因此

φ = ±π/3．

物体的速度为

v = dx/dt = -ωAsin(ωt + φ)．

当t = 0时，

v = -ωAsinφ，

由于v > 0，所以sinφ < 0，因此

φ = -π/3．

简谐振动的表达式为

x = 0.12cos(πt – π/3)．

（2）当t = T/4时物体的位置为

x = 0.12cos(π/2 – π/3)

= 0.12cosπ/6 = 0.104(m)．

速度为

v = -πAsin(π/2 – π/3)

= -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)．

加速度为

a = dv/dt = -ω2Acos(ωt + φ)

= -π2Acos(πt - π/3)

= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)．

（3）方法一：求时间差．当x = -0.06m时，可得

cos(πt1 - π/3) = -0.5，

因此

πt1 - π/3 = ±2π/3．

由于物体向x轴负方向运动，即v < 0，所以sin(πt1 - π/3) > 0，因此

πt1 - π/3 = 2π/3，

得t1 = 1s．

当物体从x = -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此

cos(πt2 - π/3) = 0，

可得 πt2 - π/3 = -π/2或3π/2等．

由于t2 > 0，所以

πt2 - π/3 = 3π/2，

可得 t2 = 11/6 = 1.83(s)．

所需要的时间为

Δt = t2 - t1 = 0.83(s)．

方法二：反向运动．物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x = 0.06m，即从起点向x轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此

cos(πt - π/3) = 0，

可得 πt - π/3 = π/2，

解得 t = 5/6 = 0.83(s)．

[注意]根据振动方程

x = Acos(ωt + φ)，

当t = 0时，可得

φ = ±arccos(x/A)，（-π< φ <= π），

初位相的取值由速度决定．

由于

v = dx/dt = -ωAsin(ωt + φ)，

当t = 0时，

v = -ωAsinφ，

当v > 0时，sinφ < 0，因此

φ = -arccos(x/A)；

当v < 0时，sinφ > 0，因此

φ = arccos(x/A)π/3．

可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x = A时，φ = 0；当初位置x = -A时，φ = π．