题目
如图所示，天文观测台有一半径为R的半球形屋面，有一冰块从光滑屋面的最高点由静止沿屋面滑下．若摩擦力略去不计，求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度。
如图所示，天文观测台有一半径为R的半球形屋面，有一冰块从光滑屋面的最高点由静止沿屋面滑下．若摩擦力略去不计，求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定冰块的机械能守恒
冰块从最高点滑下，由于摩擦力忽略不计，冰块的机械能守恒。冰块的初始势能为 $mgR$，其中 $m$ 是冰块的质量，$g$ 是重力加速度，$R$ 是半球形屋面的半径。冰块滑到任意位置时，其势能为 $mgR\cos \theta$，动能为 $\dfrac {1}{2}m{v}^{2}$，其中 $\theta$ 是冰块与垂直方向的夹角，$v$ 是冰块的速度。根据机械能守恒定律，有：
$$mgR=\dfrac {1}{2}m{v}^{2}+mgR\cos \theta$$
步骤 2：确定冰块的径向动力学方程
冰块沿径向的动力学方程为：
$$mgR\cos \theta -{F}_{N}=\dfrac {m{v}^{2}}{R}$$
其中 ${F}_{N}$ 是冰块受到的支持力。当冰块脱离球面时，支持力 ${F}_{N}=0$。
步骤 3：求解冰块离开屋面的位置和速度
将 ${F}_{N}=0$ 代入径向动力学方程，得到：
$$mgR\cos \theta =\dfrac {m{v}^{2}}{R}$$
联立机械能守恒方程和径向动力学方程，解得冰块的角位置 $\theta$ 和速度 $v$：
$$\theta =\arccos \dfrac {2}{3}={48.2}^{\circ }$$
$$v=\sqrt {gR\cos \theta }=\sqrt {\dfrac {2Rg}{3}}$$
冰块从最高点滑下，由于摩擦力忽略不计，冰块的机械能守恒。冰块的初始势能为 $mgR$，其中 $m$ 是冰块的质量，$g$ 是重力加速度，$R$ 是半球形屋面的半径。冰块滑到任意位置时，其势能为 $mgR\cos \theta$，动能为 $\dfrac {1}{2}m{v}^{2}$，其中 $\theta$ 是冰块与垂直方向的夹角，$v$ 是冰块的速度。根据机械能守恒定律，有：
$$mgR=\dfrac {1}{2}m{v}^{2}+mgR\cos \theta$$
步骤 2：确定冰块的径向动力学方程
冰块沿径向的动力学方程为：
$$mgR\cos \theta -{F}_{N}=\dfrac {m{v}^{2}}{R}$$
其中 ${F}_{N}$ 是冰块受到的支持力。当冰块脱离球面时，支持力 ${F}_{N}=0$。
步骤 3：求解冰块离开屋面的位置和速度
将 ${F}_{N}=0$ 代入径向动力学方程，得到：
$$mgR\cos \theta =\dfrac {m{v}^{2}}{R}$$
联立机械能守恒方程和径向动力学方程，解得冰块的角位置 $\theta$ 和速度 $v$：
$$\theta =\arccos \dfrac {2}{3}={48.2}^{\circ }$$
$$v=\sqrt {gR\cos \theta }=\sqrt {\dfrac {2Rg}{3}}$$