题目
4-22 图示为平面简谐波在 t=0 时的波形图,设此简谐波的频率为250Hz,且此时-|||-图中点P的运动方向向上.求:(1)该波的波动方程;(2)在距原点为7.5m处质点的运-|||-动方程与 t=0 时该点的振动速度.-|||-y/m-|||-0.10-|||-0.05 P-|||-10.0m x/m-|||--0.10-|||-习题 4-22 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定波的参数
根据题目，波的频率为250Hz，因此波的角频率 $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 250 = 500\pi \text{ rad/s}$。波长 $\lambda$ 可以从图中读出，为10.0m。因此波速 $v = \lambda f = 10.0 \times 250 = 2500 \text{ m/s}$。波数 $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{10.0} = \frac{\pi}{5} \text{ rad/m}$。
步骤 2：确定波的初始相位
从图中可以看出，当 $x=0$ 时，$y=0.05$，且波形在 $x=0$ 处的斜率为正，说明波形在 $x=0$ 处的相位为 $\frac{\pi}{3}$。因此，波动方程可以写为 $y = A\cos(\omega t - kx + \phi)$，其中 $A=0.10$ m，$\phi = \frac{\pi}{3}$。
步骤 3：写出波动方程
将上述参数代入波动方程，得到波动方程为 $y = 0.10\cos(500\pi t - \frac{\pi}{5}x + \frac{\pi}{3})$。
步骤 4：求距原点7.5m处质点的运动方程
将 $x=7.5$ m代入波动方程，得到 $y = 0.10\cos(500\pi t - \frac{\pi}{5} \times 7.5 + \frac{\pi}{3}) = 0.10\cos(500\pi t - \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = 0.10\cos(500\pi t + \frac{13\pi}{12})$。
步骤 5：求 t=0 时该点的振动速度
振动速度 $v = \frac{dy}{dt} = -0.10 \times 500\pi \sin(500\pi t + \frac{13\pi}{12})$。将 $t=0$ 代入，得到 $v = -0.10 \times 500\pi \sin(\frac{13\pi}{12}) = 40.6 \text{ m/s}$。
根据题目，波的频率为250Hz，因此波的角频率 $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 250 = 500\pi \text{ rad/s}$。波长 $\lambda$ 可以从图中读出，为10.0m。因此波速 $v = \lambda f = 10.0 \times 250 = 2500 \text{ m/s}$。波数 $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{10.0} = \frac{\pi}{5} \text{ rad/m}$。
步骤 2：确定波的初始相位
从图中可以看出，当 $x=0$ 时，$y=0.05$，且波形在 $x=0$ 处的斜率为正，说明波形在 $x=0$ 处的相位为 $\frac{\pi}{3}$。因此，波动方程可以写为 $y = A\cos(\omega t - kx + \phi)$，其中 $A=0.10$ m，$\phi = \frac{\pi}{3}$。
步骤 3：写出波动方程
将上述参数代入波动方程，得到波动方程为 $y = 0.10\cos(500\pi t - \frac{\pi}{5}x + \frac{\pi}{3})$。
步骤 4：求距原点7.5m处质点的运动方程
将 $x=7.5$ m代入波动方程，得到 $y = 0.10\cos(500\pi t - \frac{\pi}{5} \times 7.5 + \frac{\pi}{3}) = 0.10\cos(500\pi t - \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = 0.10\cos(500\pi t + \frac{13\pi}{12})$。
步骤 5：求 t=0 时该点的振动速度
振动速度 $v = \frac{dy}{dt} = -0.10 \times 500\pi \sin(500\pi t + \frac{13\pi}{12})$。将 $t=0$ 代入，得到 $v = -0.10 \times 500\pi \sin(\frac{13\pi}{12}) = 40.6 \text{ m/s}$。