如图所示的汾丘里管，已知管子粗细处的横截面积分别为S1和S2，粗细处的竖直管子中的液面高度差为h，当管子的S1和S2为恒定不变的量时，液体的体积流量与（　　）v-|||-+ + y2-|||-主管 细管 A. h成正比 B. h成反比 C. sqrt(h)成正比 D. sqrt(h)成反比

考查要点：本题主要考查文丘里管的工作原理，涉及连续性方程和伯努利方程的应用，以及如何通过液面高度差推导体积流量与h的关系。

解题核心思路：

1. 连续性方程：保证流量在管道各处相等，即$S_1v_1 = S_2v_2$。
2. 伯努利方程：分析粗管与细管处的压强差，结合液面高度差$h$建立方程。
3. 联立求解：通过压强差与流速的关系，最终推导出体积流量$Q$与$h$的函数关系。

破题关键点：

• 明确压强差$\Delta P$由液面高度差$h$决定：$\Delta P = \rho_{\text{液}}gh$。
• 将流速关系代入伯努利方程，消去变量，得到$Q$与$\sqrt{h}$的正比关系。

步骤1：应用连续性方程

根据连续性方程，液体流量在粗管和细管处相等：
$S_1v_1 = S_2v_2 \quad \Rightarrow \quad v_1 = \frac{S_2}{S_1}v_2$

步骤2：应用伯努利方程

在粗管和细管处应用伯努利方程（忽略摩擦损失）：
$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$
压强差为：
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2}\rho (v_2^2 - v_1^2)$

步骤3：联立压强差与液面高度差

竖直管中液面高度差$h$对应的压强差为：
$P_1 - P_2 = \rho_{\text{液}}gh$
联立得：
$\rho_{\text{液}}gh = \frac{1}{2}\rho \left(v_2^2 - \left(\frac{S_2}{S_1}v_2\right)^2\right)$

步骤4：化简并求解体积流量

整理方程：
$v_2^2 \left(1 - \frac{S_2^2}{S_1^2}\right) = \frac{2\rho_{\text{液}}}{\rho}gh$
解得：
$v_2 = \sqrt{\frac{2\rho_{\text{液}}gh}{\rho \left(1 - \frac{S_2^2}{S_1^2}\right)}}$
体积流量为：
$Q = S_2v_2 = S_2 \sqrt{\frac{2\rho_{\text{液}}gh}{\rho \left(1 - \frac{S_2^2}{S_1^2}\right)}}$
可见，$Q$与$\sqrt{h}$成正比。