题目
1.6 粒子按规律 =(t)^3-3(t)^2-9t+5 沿x轴运动,在哪个-|||-时间间隔它沿着 x轴正向运动?哪个时间闻隔沿着x轴负向-|||-起动?哪个时间间隔它加速?哪个时间间隔减速?分别画出-|||-x,v,a,以时间为自变量的函数图.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查利用导数分析物体运动状态的能力，包括速度、加速度的计算，以及通过速度和加速度的符号变化判断运动方向和加速/减速区间。
解题核心思路：
- 求导确定速度和加速度：位移对时间求导得速度，速度对时间求导得加速度。
- 分析速度符号：通过速度函数的零点划分区间，判断粒子运动方向。
- 分析加速度与速度的关系：当加速度与速度同号时粒子加速，异号时减速。
破题关键点：
- 速度函数的零点：确定运动方向变化的临界时间。
- 加速度函数的零点：划分加速度方向变化的区间。
- 符号一致性：结合速度和加速度的符号判断加速或减速。
1. 求速度和加速度
- 速度：位移函数对时间求导：
$v(t) = \frac{dx}{dt} = 3t^2 - 6t - 9$ - 加速度：速度函数对时间求导：
$a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t - 6$
2. 分析运动方向
- 求速度零点：解方程 $v(t) = 0$：
$3t^2 - 6t - 9 = 0 \implies t^2 - 2t - 3 = 0 \implies t = -1 \text{ 或 } t = 3$
由于时间 $t \geq 0$，有效临界点为 $t = 3$。 - 速度符号判断：
- 当 $t < 3$ 时，$v(t) < 0$，粒子沿 x轴负方向 运动。
- 当 $t > 3$ 时，$v(t) > 0$，粒子沿 x轴正方向 运动。
3. 分析加速与减速
- 求加速度零点：解方程 $a(t) = 0$：
$6t - 6 = 0 \implies t = 1$ - 加速度符号判断：
- 当 $t < 1$ 时，$a(t) < 0$；
- 当 $t > 1$ 时，$a(t) > 0$。
- 加速/减速条件：
- 加速：加速度与速度同号。
- $0 \leq t \leq 1$：$a(t) < 0$，$v(t) < 0$，同号，加速。
- $t \geq 3$：$a(t) > 0$，$v(t) > 0$，同号，加速。
- 减速：加速度与速度异号。
- $1 < t < 3$：$a(t) > 0$，$v(t) < 0$，异号，减速。
- 加速：加速度与速度同号。