题目
设入射波的表达式为=Acos 2pi (dfrac (t)(T)+dfrac (x)(lambda ))-|||-__,在x=0处发生反射,反射点为一固定端,设反射时无能量损失, (1) 求反射波的表达式； (2) 合成的驻波的表达式； (3) 波腹和波节的位置
设入射波的表达式为
,在x=0处发生反射,反射点为一固定端,设反射时无能量损失,
(1) 求反射波的表达式；
(2) 合成的驻波的表达式；
(3) 波腹和波节的位置
题目解答
答案
解：反射波的表达式：
；
驻波的表达式：
驻波波腹处的坐标：
，波节位置：
解析
步骤 1：确定反射波的表达式
由于反射点为固定端，反射波相对于入射波相位差为$\pi$，即反射波的相位比入射波滞后$\pi$。因此，反射波的表达式为${s}_{2}=A\cos 2\pi (\dfrac {t}{T}-\dfrac {x}{\lambda }+\dfrac {1}{2})$。这里，$\dfrac {1}{2}$代表$\pi$的相位差。
步骤 2：合成驻波的表达式
将入射波和反射波的表达式相加，得到合成波的表达式。${s}_{1}+{s}_{2}=A\cos 2\pi (\dfrac {t}{T}+\dfrac {x}{\lambda })+A\cos 2\pi (\dfrac {t}{T}-\dfrac {x}{\lambda }+\dfrac {1}{2})$。利用三角函数的和差化积公式，可以将上述表达式化简为驻波的表达式。
步骤 3：确定波腹和波节的位置
波腹是驻波中振幅最大的点，波节是振幅为零的点。根据驻波的表达式，可以确定波腹和波节的位置。波腹的位置满足$\cos 2\pi \dfrac {x}{\lambda }=0$，波节的位置满足$\cos 2\pi \dfrac {x}{\lambda }=\pm 1$。
由于反射点为固定端，反射波相对于入射波相位差为$\pi$，即反射波的相位比入射波滞后$\pi$。因此，反射波的表达式为${s}_{2}=A\cos 2\pi (\dfrac {t}{T}-\dfrac {x}{\lambda }+\dfrac {1}{2})$。这里，$\dfrac {1}{2}$代表$\pi$的相位差。
步骤 2：合成驻波的表达式
将入射波和反射波的表达式相加，得到合成波的表达式。${s}_{1}+{s}_{2}=A\cos 2\pi (\dfrac {t}{T}+\dfrac {x}{\lambda })+A\cos 2\pi (\dfrac {t}{T}-\dfrac {x}{\lambda }+\dfrac {1}{2})$。利用三角函数的和差化积公式，可以将上述表达式化简为驻波的表达式。
步骤 3：确定波腹和波节的位置
波腹是驻波中振幅最大的点，波节是振幅为零的点。根据驻波的表达式，可以确定波腹和波节的位置。波腹的位置满足$\cos 2\pi \dfrac {x}{\lambda }=0$，波节的位置满足$\cos 2\pi \dfrac {x}{\lambda }=\pm 1$。